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文档简介

第六节 对坐标的曲面积分,一、基本概念,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,（非封闭曲面）,（封闭曲面）,决定了侧的曲面称为有向曲面.,有向曲面的侧是由曲面法向量的指向决定的.,曲面的投影问题:（计算对坐标的曲面积分时要把曲面积分化成二重积分，涉及曲面在坐标面上的投影问题）,分别是曲面在点（x,y,z)的法线向量与X，Y，Z轴正向的夹角,类似地有：,其中,二、概念的引入,实例: 流向曲面一侧的流量.,1. 分割,则该点流速为 .,法向量为 .,2. 求和,3.取极限,被积函数,积分曲面,类似可定义,常用的形式是组合形式:,对坐标的曲面积分存在的充分条件:,对坐标的曲面积分的物理意义:,的稳定的密度为1的不可压缩流体在单位时间内流向 指定侧的流量,表示流速为,性质:,计算时把曲面积分化成二重积分：,一。将曲面 投影到XOY坐标面上；,二。将被积函数中的z用曲面方程 代替。,如果 是曲面的下侧，则有：,例：教材 P.203 2.,四、计算法,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,（前侧为正，后侧为负）,（右侧为正，左侧为负）,解,五、两类曲面积分之间的联系,如果设曲面过点(x,y,z) 的法线向量与x,y,z轴正向的 夹角分别为,则有：,两类曲面积分之间的联系为,与两类曲线积分之间的联糸：,相比较，两者有什么不同？,两类曲面积分之间的联系：,复合形式,应如何计算？,逐个计算当然可以，但要将曲面投影在三个不同的坐标面上，比较麻烦。,注意到：,且当,时，（,因此有：,时变号）,这样可将三个曲面积分简化成一个曲面积分统一计算,同理还有：,原式,解：原式=,=,=,=,例：P.203 3.（3）,例：P.203 3.（4）,对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分，一般不用变量的奇偶性和区域的对称性来简化计算。,本题涉及的是另一种形式的对称性，各变量在曲面积分的被积函数和积分区域
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