组合与组合数公式.ppt

9 July 2019,组合与组合数公式,一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.,1.排列的概念：,理解： n个元素是不同的，取出的m个元素是不同的. m,n是正整数，且mn, 排列是m步的集成结果：“取出第1个元素放到第1位” 、 “取出第2个元素放到第2位” 、“取出第m个元素放到第m位”., 两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全 相同，且元素的排列顺序也完全相同.,或看作是两大步的集成结果：先“取出m个不同元素”，再“按照一定顺序将m个不同元素排成一列”.,复习引入,是 “取出第1个元素放到第1位”的方法数、 “取出第2个元素放到第2位”的方法数、 “取出第m个元素放到第m位”的方法数的乘积.,所以， 是以上m步的集成的运算公式！,2.排列数公式的意义：,是 “取出m个不同元素”的方法数m1，与“按照一定顺序将m个不同元素排成一列”的方法数m2的乘积.,也可以这样认为：,复习引入,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,有顺序,无顺序,有3种不同的选法！,选出来，但没有排序！得到的是“组”组合.元素无序,选出来，并排序！得到是“有序列”排列.元素有序.,复习引入,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,组合定义:,思考:,排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？,共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”,不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”,排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关,新授概念,想一想: 1.ab与ba是相同的排列，还是相同的组合?,2.两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,答：ab与ba是相同的组合，不是相同的排列，而是两个不同的排列.,答：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全 相同，且元素的排列顺序也完全相同.,两个组合相同，只需两个组合的元素完全 相同.,深化理解,例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题?,(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?,(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法?,组合问题,组合问题,例题讲解,(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次?,组合问题,(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?,组合问题,(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?,排列问题,例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题?,例题讲解,如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:,ab , ac , bc,如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合.,ab , ac , ad , bc , bd , cd,(有3个组合),共有6个组合.,深化理解,从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示,如:,思考:如何计算:,组合数:,新授概念,写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合.,a,abc ， abd ， acd ， bcd .,b,c,d,d,b,c,c,d,写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.,每一个组合对应3！个排列.,导入公式,abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb,所有的排列为：,每3！个排列对应一个组合.,导入公式,组合,排列,abc bac cab acb bca cba,abd bad dab adb bda dba,acd cad dac adc cda dca,bcd cbd dbc bdc cdb dcb,每一个组合对应3！个排列.,导入公式,导入公式,组合数公式:,从 n 个不同元中取出m个元素的排列数：,被选数的阶乘,选出数的阶乘,剩余数的阶乘,组合数公式,组合数公式:,被选数的阶乘,选出数的阶乘,剩余数的阶乘,组合数公式,例2 计算：,解：,例题讲解,例3 求证：,证明：,例题讲解,练习1:,中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，通过单循环决出冠亚军 （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况.,（1） 中国美国 中国古巴 中国俄罗斯 美国古巴 美国俄罗斯 古巴俄罗斯,（2）,巩固练习,练习2:,从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 _ 种不同的选法.,解：从6位同学中选出2人去参加座谈会，这是组合问题，有,种不同的选法.,