大地线的定义与性质.ppt

2.2.5 大地线,1、大地线的定义与性质 法截弧：由椭球面上A点的法线与B点所确定的法截面与椭球面相割得到的曲线称为A到B的法截弧。 相对法截弧： A到B的法截弧与B到A的法截弧。 由相对法截弧构成的椭球面三角形 不是闭合图形。,2.2.5 大地线（续1）,大地线的定义：大地线的主法线与曲面法线处处重合。 大地线的性质：1、大地线上任何点的密切平面就是该点 的法截面； 2、曲面上连接任何两点的最短直线必为 大地线。 3、大地线的测地曲率等于0 曲线的测地曲率：曲线的曲率在曲面切平面上的投影。 大地线的曲率： 大地线的挠率,2.2.5 大地线（续2）,2、大地坐标系中大地线的微分方程 (1). 大地线的二阶微分方程 以u,v 为参数的一般曲面的大地线微分方程可表示为： 下标为相应的偏导数。,2.2.5 大地线（续3）,对于椭球面，有： 代入前面公式，得： 则旋转椭球面上大地线的微分方程为：,2.2.5 大地线（续4）,(2). 克莱劳定理,直角坐标系中的椭球面方程：,椭球面法向量为：,以大地线弧长为参数的大地线主法线向量为：,两者指向一致，即：,2.2.5 大地线（续5）,由上式的前两个方程得：,将三维空间坐标与大地坐标的关系及其微分关系：,1,代入 式，整理得：,1,2,2.2.5 大地线（续6）,将关系： 即：大地线上各点的平行圈 半径与该点的大地线方位角 正弦的乘积是常数。,代入上式，即得克莱劳定理：,2.2.5 大地线（续7）,(3). 大地线的一阶微分关系式,由克莱劳定理，微分得：,2.2.5 大地线（续8）,又如图所示：,代入上式，得：,三个微分关系式可整理为：,3,2.2.5 大地线（续9）,3、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程,大地线始点坐标P0(B0,L0)，大地线上任何点的位置向量都可以展开成S,A的级数形式：,Frenet标架的坐标轴定义：x指向大地线的切向t， y指向大地线的主法向n，向内为正， z指向大地线的副法向b，构成左手系。,4,2.2.5 大地线（续10）,显然有：,根据曲线论中的Frenet公式：,由以上两式可求出各阶导数：,2.2.5 大地线（续11）,将上式代入大地线展开式 ，得Frenet标架下的三维坐标：,4,5,顾及公式：,2.2.5 大地线（续12）,和：,求导得：,2.2.5 大地线（续13）,代入Frenet标架下的三维坐标公式 ，得：,5,2.2.5 大地线（续14）,将坐标系饶 y逆时针旋转A， 得x”、y”、z”坐标系，则有：,以P0点为原点的地平坐标系(站心坐标系) x、y、z，与x”、y”、z”坐标系的关系为：,2.2.5 大地线（续15）,最后得到地平坐标系（站心系）中的大地线方程，称为Weingarten级数。,6,2.2.5 大地线（续16）,法截弧为平面曲线，其挠率为0，同理可推得地平坐标系中的计算式为：,2.2.5 大地线（续17）,4、基于大地线的椭球面曲线坐标系 (1). 大地线极坐标系 大地圆：到极点具有相同大地线长 度的点所构成的轨迹。 由大地线长度和大地方位角可描述 曲面点的位置 。,如图所示：,对照第一基本形式，得：,由图中的微分直角三角形，得大地极坐标系中的微分关系式：,2.2.5 大地线（续18）,大地线的归化长度 m 的计算公式：,由 式求出偏导数代入得：,6,2.2.5 大地线（续19）,(2). 测地坐标系,以过P0点的经线及其平行线为v曲线， 过P0点与经线正交的一族大地线为u曲线，构成的坐标格网称为测地坐标系,测地坐标在v曲线方向用Sx， u曲线方向用Sy,即：,2.2.5 大地线（续19）,n 称为测地平行线的归化长度因子。,2.2.5 大地线（续20）,根据球面角超的定义，在球面直角三角形 中，球面角超为：,根据球面三角形的Legendre定理：,7,2.2.5 大地线（续21）,代入测地平行线的归化长度因子公式，得：,精确到二次项时的归化长度因子计算公式为：,则与子午弧长相应的测地平行线的弧长为：,习 题,1. 纬度相同的两个点的相对法截弧是否