3.4.1圆周角定理及其推论1

4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论1关键问答圆周角和圆心角的顶点位置有何区别？同一段弧所对的圆心角和圆周角又有什么关系？ 一条弧所对的圆周角有多少个？这些圆周角的大小有怎样的关系？1如图341，A，B，C是O上的三点，且ABC70，则AOC的度数是()图341A35 B140 C70 D70或1402如图342，点A，B，C，D都在O上，AC，BD相交于点E，则ABD与下列哪个角相等()图342AACD BADB CAED DACB32019哈尔滨如图343，O中，弦AB，CD相交于点P，A42，APD77，则B的度数是()图343A43 B35 C34 D44命题点 1利用圆周角定理进行计算或证明热度：96%4.如图344，在O中，O为圆心，点A，B，C在圆上，若OAAB，则ACB的度数为()图344A15 B30 C45 D60方法点拨解决圆中与圆周角有关的问题，常找出同弧所对的圆心角，通过圆心角和圆周角的关系找到解题的途径5如图345，AOB100，点C在O上，且点C不与点A，B重合，则ACB的度数为()图345A50 B80或50 C130 D50或130易错警示点C的位置固定吗？有几种不同的情况？62019菏泽如图346，在O中，OCAB，ADC32，则OBA的度数是()图346A64 B58 C32 D267.如图347，O的半径为6，点A，B，C在O上，且ACB45，则弦AB的长是_图347命题点 2利用圆周角定理的推论1进行计算或证明热度：96%82019北京如图348，点A，B，C，D在O上，CAD30，ACD50，则ADB_图3489.已知：如图349，CACBCD，过A，C，D三点的O交AB于点F.图349求证：CF平分BCD.解题突破连接AD，你能得到哪些角相等？10.如图3410所示，AB是O的一条弦，ODAB，垂足为C，交O于点D，点E在O上图3410(1)若AOD52，求DEB的度数；(2)若OC3，OA5，求tanAEB的值方法点拨(1)已知圆心角，要求圆周角，首先要联想到圆周角定理(2)AEB所在的三角形不是直角三角形，那么是否可以将它转化到一个直角三角形中呢？11.如图3411，ABC的三个顶点都在O上，ABCC，点D在弧BC上运动，过点D作DEBC交直线AB于点E，连接BD.(1)求证：ADBE；(2)求证：AD2ACAE；(3)当点D运动到什么位置时，DBEADE？请你利用图进行探索和证明图3411方法点拨在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角的基本性质进行两种转化：一是利用同弧或等弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化；二是将圆周角相等的问题，根据“同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等”，转化为弦相等或线段相等的问题.12如图3412，点A，B，C在O上，ACBC，D为O中上一点，延长DA至点E，使CECD，连接BD.(1)求证：AEBD；(2)若ACBC，求证：ADBDCD.图3412命题点 3圆周角在实际中的应用热度：70%13.如图3413所示，在小岛周围的内有暗礁，在A，B两点各建一座航标灯塔，且APB，上任一点P都是有触礁危险的临界点，APB就是“危险角”船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？图3413方法点拨三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；一条弧所对的角的顶点在圆外的角都小于顶点在圆上的角，一条弧所对的角的顶点在圆内的角都大于顶点在圆上的角.14.已知：如图3414，O1和O2相交于A，B两点，动点P在O2上，且在O1外，直线PA，PB分别交O1于点C，D，O1的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定弦CD最长和最短时点P的位置；如果不发生变化，请你给出证明图3414解题突破在同一个圆中，判断弦的长有无变化可以判断弦所对的圆心角或圆周角有无变化，只要弦所对的圆心角或圆周角不变，那么弦的长也不变.详解详析1B2A解析 ABD与ACD对着同一条弧，根据“同弧所对的圆周角相等”可知ABDACD.3B4B解析 OAAB，OAOB，AOB是等边三角形，AOB60，ACB30.故选B.5D解析 利用同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半，求得圆周角的度数即可，注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论当点C在优弧上时，ACBAOB10050；当点C在劣弧上时，ACB(360AOB)(360100)130.故选D.6D解析 如图，由OCAB，得，OEB90，23.22123264，364.在RtOBE中，OEB90，B903906426.故选D.76 解析 连接OA，OB，AOB2ACB24590，则AB6 .870解析 ，CAD30，CADCAB30，DBCDAC30.ACD50，ABD50，ADBACB180CABAB9证明：连接AD.CACD，DCAD.DCFA，CADCFA.CFABFCB，CAFFADBFCB.CACB，CAFB，FADFCB.又FADFCD，FCBFCD，即CF平分BCD.10解：(1)ODAB，DEBAEDAOD5226.(2)OC3，OA5，AC4.，AEBAOC，tanAEBtanAOC.11解：(1)证明：DEBC，ABCE.ADB，C都是所对的圆周角，ADBC.ABCC，ADBE.(2)证明：ADBE，BADDAE，ADBAED，即AD2ABAE.ABCC，ABAC，AD2ACAE.(3)当点D运动到弧BC的中点时，DBEADE. 证明：DEBC，EDBDBC.，DBCEAD，EDBEAD.又DEBAED，DBEADE.12解析 (1)根据同弧所对的圆周角相等，得CBACDE，进而可得ACBECD，可证明ACEBCD，则AEBD；(2)根据已知条件，得CEDCDE45，则DECD，从而证出结论证明：(1)在ABC中，ACBC，CABCBA.在ECD中，CECD，ECDE.CBACDE(同弧所对的圆周角相等)，CABE，ACBECD，ACBACDECDACD，即BCDACE.在ACE和BCD中，CECD，ACEBCD，ACBC，ACEBCD，AEBD.(2)ACBC，ACB90.由(1)知ACBECD，ECD90，CEDCDE45，DECD.又ADBDADAEDE，ADBDCD.13解：船在航行的过程中，始终保持对两灯塔A，B的视角小于，即可安全绕过暗礁区理由：如图所示(1)在外任取一点C，连接CA，CB.设CA交于点F，连接FB.AFB，AFBC，C.(2)在内任取一点D，连接AD并延长交于点E，连接DB，EB.E，ADBE，ADB.由(1)(2)知，在航标灯A，B所在直线的北侧，在外任一点对A，B的视角都小于，在上任一点对A，B的视角都等于，在内任一点对A，B的视角都大于，因此，只有对两灯塔的视角小于的点才是安全点14解析 连接AD，AB，ADP在O1中所对的弦为AB，所以ADP为定值，P在O2中所对的弦为AB，所以P为定值再利用三角形内角与外角的关系求出CAD为定值，则弦CD为定值，与点P的位置无关解：当点P运动时，弦CD的长保持不变证明：如图，连接AD，AB，点A，B是O1与O2的交点，弦AB的长与点P的位置无关ADP在O