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文档简介

2-10 应力函数常体积力,一. 常体力情况下的简化,当体力为常量时,,(2-21)容简化为:,(2-21a),(2-21b),拉普拉斯算子,(222),注意:在常体力情况下,(2-2)平、(2-22)容和(2-15)边中都不包含弹性常数,而且对于两种平面问题都是相同的。因此,在单连体的应力边界问题中,如果两个弹性体满足:a.相同的边界形状,b.受同样分布的外力,则不管两个弹性体的材料是否相同,也不管是在平面应力还是平面应变情况下,应力分量 的分布都是相同的。,应用:a.用实验方法量测结构的应力分量时;b.平面应力情况下的薄板模型代替平面应变情况下的长柱形结构。c.在常体力情况下,对于单连体的应力边,界问题,还可以把体力的作用改换为面力的作用,以便解答问题和实验量测。,设原问题中应力分量 满足:,(a),(b),(c),(d),比较(a),(b),(c),(d),得到 满足:体力为零的平衡微分方程和面力分量分别增加了 和 的应力边界条件。,于是得到求解原问题的办法:先不计体力,而对弹性体施加代替体力的面力分量 和 ,求出 以后,再在 和 上叠加上和 ,即得原问题的应力分量。,例如:如图所示深梁在重力作用下的应力分析(p为深梁的容重)。,先不计体力,而施以代替体力的面力。,C,A,B,D,E,F,h,h,C,A,B,D,E,F,2ph,ph,x,y,x,y,p,二.应力函数,为非齐次偏微分方程组,结论:,当体力为常量时,按应力求解平面应力(应变)问题,可归结为根据(2-2)平及(2-22)容求出应力分量,并要求在边界上满足应力边界条件(2-15)边及位移单值条件。,研究(2-2)平及(2-22)容的求解,(222),1.对应的齐次偏微分方程的通解,所以,必存在一个具有全微分的函数A(x,y),根据微分方程解的理论,(22)平的解由两部分组成:通解及其一个特解。,由第一式有,全微分充要条件,由第二式有:,(a),(b),(d),(c),同理:根据全微分充要条件,同样存在另一个函数B(x,y),比较( a)( d )两式,对应的齐次偏微分方程的通解:,平面应力函数(Airy应力函数),同理可以找到一个函数(x,y),有,2.非齐次方程特解,3.平衡方程的解,(2-23),将(2-23)代入(2-22)容,(2-22)容,可记为: 或,这里(x,y)为双调和函数,注:满足,的函数称调和函数,展开后:,(224),结论:,1.当应力函数为满足双调和方程的双调和函数时 (223)可以同时满足(2-2)平及(2-22)容,故 (223)为(2-2)平及(2-22)容的解。,(224)为用应力函数表示的相容方程。,2.当体力为常量时,按应力求解平面应力(应变)问题,可归结为根据(2-24)容求出应力函数 ,然后由平衡方程的解(223)求出应力分量,并要求在边界上满足应力边界条件(2-15)边,及位移单值条件(多连体时)。,多连体的位移单值条件,单连体:具有一个连续的边界。,多连体:具有两个以上互不相交的连续的边界。,位移单值条件:一点处的位移是单值的。,*按应力求解时,对于多连体,要利用位移单值条件,才能完全确立应力分量。,例题,解:1.满足平衡微分方程,将x=y=-q,xy=0代入,故满足平衡方程,条件,也满足位移单值条件,是问题的解。,任意形状等厚度薄板全部边界上受均布压力q,试证明:,满足平衡方程、相容方程和应力边界,2.满足相容方程,3.满足边界条件:,将x=y=-q,xy=0代入,自然满足,4.位移单值条件:,2)求位移:,满足,1)求应变:,代入(3)得,于是有 :,由(1)式积分,由(2)式积分,由于所给应力解答满足平衡微分方程、相容方 程、且在边界上满足应力边界条件,对于多连通域满足

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