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无穷级数,第三节 幂 级 数,第三节 幂级数,一. 函数项级数,1.定义,函数项级数,是定义在区间 I 上的函数列,在 I 中任取一点 ,就得到一个数项级数,收敛, 收敛点,发散, 发散点,函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域,2.收敛域,3.和函数：,在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，因此其和是x的函数，称为和函数,4.余项:,前n项的部分和,在收敛域内才有意义,且,二. 幂级数及其收敛性,幂级数,各项都是幂函数的函数项级数,一般形式:,特例,系数,(1),(2),主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2),1.幂级数的收敛域,x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.,例,由等比级数的性质, 时收敛, 时发散,则收敛域(1,1)内,注:三种收敛情形:,(1) 仅在 x = 0 处收敛;,(2) 在 内处处收敛;,(3) 在(R,R )内收敛,端点另外讨论,收敛区间,R收敛半径,R= 0,R= + ,2.收敛半径的求法,定理2,(证明略),例 求收敛半径和收敛域,x =1 时,收敛；,x =1时,收敛域是(1，1,发散,收敛域是(，）,仅在 x =0 点收敛,设 x2 t ,由(1)知,收敛域是(1,3,收敛域是(1,1,令,t =3 时,t =3时,发散,发散,收敛域是(3,3),收敛域是,缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求R,1时,收敛.,1时,发散.,则收敛区间为,时,发散.,注:缺少奇次项,也可以用此方法.,三.幂级数的运算性质,1.四则运算性质,设,收敛半径分别为 和 ,记,则对于任意的 , 有,利用乘法可以定义除法,则,注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多,2. 分析运算性质,(1) S(x) 在收敛域内连续;,(2) S(x) 在(-R,R)内可导,且,即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数 收敛半径不变.,可推广到任意阶导数,(3) S(x)在(-R,R)内可积,且,即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数 收敛半径不变.,注意:(2),(3)中端点需要另外
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