[高考数学复习]解析几何中求参数取值范围的方法

高考数学复习解析几何中求参数取值范围的方法解析几何中求参数取值范围的方法近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-aa，-bb，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法。例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a0）， A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0 ， 0）求证:-a2-b2a a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.解: 设A，B坐标分别为（x1，y1） ，（x2，y2），（x1x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1又线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2又A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点-aa， -aa， x1x2 以及-ax1+x22 a-a2-b2a a2-b2a例2 如图，已知OFQ的面积为S，且OF FQ=1，若 12 2 ，求向量OF与FQ的夹角的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系，利用S的范围解题。解: 依题意有tan=2S12 2 1 tan4又04例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|a|，则a的取值范围是A a0 B a2 C 02 D 0 p分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0） 由|PQ| a得y02+（ y024 -a）2a2 即y02（y02+16-8a） 0y020 （y02+16-8a） 0即a2+ y028 恒成立又 y020而 2+ y028 最小值为2 a2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解。例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是A -12 ，12 B -2，2 C -1，1 D -4，4分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式0解:依题意知Q坐标为（-2，0） ， 则直线L的方程为y = k（x+2）由 得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0直线L与抛物线有公共点0 即k21 解得-11 故选 （C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围。分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式。解：由 得 （k2-2）x2 +2kx+2 = 0直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2 p四、利用三角函数的有界性构造不等式曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。例8 若椭圆x2+4（y-a）2 = 4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的取值范围。分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程，得到实数a与参数的关系，再利用三角函数的有界性确定a的取值情况。解：设椭圆的参数方程为 （为参数）代入x2=2y 得4cos2= 2（a+sin）a = 2cos2-sin=-2（sin+ 14 ）2+ 178又-1sin1，-1178例9 已知圆C：x2 +（y-1）2= 1上的点P（m，n），使得不等式m+n+c0恒成立，求实数c的取值范围分析:把圆方程变为参数方程，利用三角函数的有界性，确定m+n的取值情况，再确定c的取值范围。解：点P在圆上，m = cos，n = 1+sin（为参数）m+n = cos+1+sin = 2 sin（4 ）+1m+n最小值为1-2 ，-（m+n）最大值为2 -1又要使得不等式c-（m+n） 恒成立c2 -1五、利用离心率构造不等式我们知道，椭圆离心率e（0，1），抛物线离心率e = 1，双曲线离心率e1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解。例10已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点，L为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.分析:由于椭圆中心不在原点，故先设椭圆中心，再找出椭圆中各量的关系，再利用椭圆离心率01，建立相关不等式关系求解.解：依题意得F的坐标为（2，0），L:x = 32设椭圆中心为（m，0），则 m-2 =c和 m-32 = a2c两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e201，01，解得m2，又当椭圆中心（m，0）在直线y=kx+3上，0 = km+3 ，即m = - 3k ，唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。- 3k 2，解得-32 p要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能让同学们了解这类问题的常用求法