chp1.5n阶行列式的性质.pptVIP

1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性,2.行列式的几种表示方法,课前复习,1,（2）定理1.3.1 一般地，行列式也可定义为,其中 为行标排列 的逆序数 ， 为列标排列 的逆序数.,（1）n 阶对角行列式,4、几个特殊行列式的结果,(2) 下三角形行列式,（3）上三角形行列式,（4）上三角形行列式,（5）下三角形行列式,当n4时, 用定义计算n阶行列式将是十分复杂甚至是不可能的. 下面将讨论行列式的性质, 并用这些性质来简化行列式的计算.,(证明不重要, 但必须记住以下所述的性质 及其推论并用它们来计算行列式), 1.5 n阶行列式的性质及计算,4,一、行列式的性质,行列式DT称为行列式D的转置行列式. 即把行列式D中的行与列按原顺序互换(第1行换成 第1列,第2行换成第2列,，以此类推，直到最后 一行）以后得到的行列式，称为D的转置行列式， 也可记为 D,记,5,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,如,则,如,6,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,又如,-,.,-,例如,注：1.以后用记号rirj表示第i行和第j行对换； 而用记号cicj表示第i列和第j列对换。 这里r是英文row(行）的第一个字母； 而c是英文column(列）的第一个字母。 2.遇到互换两行或两列要记得行列式变号。,8,例：求行列式,的值。,解：,-,此为对角形行列式。对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积,9,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,所谓两行(或列)相同指的是 两行(或列)元素对应都相等,如,10,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.,注：以后用kri表示k乘第i行； 而用kci表示k乘第i列。,11,推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,例如,第 i 行（或列）提出公因子 k ，记作 rik（cik）。,12,练习1,设,求,解,利用行列式性质,有,推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,14,如,又如,15,性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,16,由行列式定义, 性质4显然成立. 此性质说明行列式中某一行(列)的元素均是两数之和时, 该行列式就可按此行(列)拆成两个行列式之和. 例如,17,又如,18,例 如果三阶行列式D3 = |aij|=m, 求行列式D的值：,解：,性质4,第一行和第二行相同,据性质2推论，此行列式为0,第二列存在公因子(-1),据性质3推论2，可以把(-1)提出来,注：此例说明了在计算行列式时，性质的运用不是孤立的。,19,推论 如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和, 则此行列式可以写成m个行列式的和.,例,20,性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变,例如,21,注：以后用rj+kri表示用比例k乘第i行的各个元素并加到第j行的相应元素上(特别地，当k=-1时表示rj - ri ，而k=+1时表示rj + ri )； 而用cj+kci比例k乘第i列的各个元素并加到第j列的相应元素上。 (特别地，当k=-1时表示cj - ci ，而k=+1时表示cj + ci ),例如,又如,从此例说明运用行列式的性质可以简化行列式的计算,22,问题2：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3推论1应如何取？,答案：按顺序将公因子提出，如,行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,23,例 计算行列式,解: 因为第一列与第二列对应元素成比例,根据性质3的推论2,行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,得,24,例 若四阶行列式D4 = |aij|=m,则D= |3aij|=?,分析：,D4 = |aij|,D= |3aij|,解：根据性质3的推论1,从行(或列)看，每行(或每列)都存在公因子 3，因此可以分别提出来，共有4个因子3。,D= |3aij|=,=34 |aij|,=81m,行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,得,25,特别地，若 阶行列式,26,则,复习,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.,推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,27,复习,性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则D可以写成两个行列式之和.,性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变,推论 如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和, 则此行列式可以写成m个行列式的和.,28,我们知道三角形行列式的值就等于主对角线上的各元素乘积。,因此，计算一般的行列式时, 常多次运用行列式的性质, 把它化为三角形行列式来计算.,29,(1),(2),具体如何操作呢？我们先来看几个二阶和三阶行列式化为上三角行列式的例子。,第一列第一个元素为0，可以运用性质2进行换行。,互换行列式的两（列）,行列式变号.,性质5：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变,30,注意第一行第一列 元素非0，不用换行,(3),31,注意第一行第一列元素为0,(4),由于第一列第一个元素为0，因此必须换行，可以与第二行换也可以与第三行换，得到的结果将是相同的.我们分别计算如下：,32,法1,33,法2,0,答案与法1同！,34,注： 1.由于r2与r3的第一个元素均为非0，因此不管r1与哪行换均是可以的；但是有时候要注意换上去的行的数字要尽量简单点，尽量换上含数字绝对值较小的但又没有出现分数的; 2.换行时要变号.,35,总结以上各例，我们得出一般行列式化为上三角形行列式的步骤是:,然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行, 使第一列除第一个元素外其余元素全为0,如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换, 使第一列的第一个元素不为0（换行时，注意行列式外加一个负号）;,（性质2：rirj）,（性质5: rj+kri）,互换行列式的两（列）,行列式变号.,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变,36,再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式; 依次作下去, 直至它成为上三角形行列式, 这时主对角线上的元素的乘积就是行列式的值.,注： 如果第一列第一个元素不为0，就 不用换行；在考查低一阶行列式的时候 方法同上，也要对第一列第一个元素为0 的行进行换行,方法与以上同。,37,例 计算行列式,注意第一行第一列元素为0,38,解:,39,40,注意：也可把行列式化为下三角行列式来计算。步骤是：,然后把第一列分别乘以适当的数加到其它各列, 使第一行除第一个元素外其余元素全为0 ；,如果第一行第一个元素为0, 先将第一列与其它列交换, 使第一行的第一个元素不为0(换列时，注意行列式外加一个负号）;,（性质2： cicj ）,（性质5: cj+kci）,互换行列式的两（列）,行列式变号.,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变,41,再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式; 依次作下去, 直至它成为下三角形行列式, 这时主对角线上的元素的乘积就是行列式的值.,所有的行列式都可以化为上三角行列式。因此，一般来说，大部分行列式的计算都先化为上三角行列式。但是，有时候化为下三角形行列式更为简便。,下面利用化为下三角形行列式的方法来处理上面计算过的一道三阶行列式。 其他阶行列式类同。,42,答案与前同！,43,并不是化为上三角行列式只能用行变换，也并不是化为下三角行列式只能用列变换。其实，不管化为上三角行列式或下三角行列式，行变换和列变换都可以结合进行。,44,例 计算行列式：,分析：,虽然第一行第一列元素不为0，但第一 列元素的数值相对比较大，为了方便计 算我们可以进行换列(或行)。分析各行和各列的特点，发现第二列的数值的绝对值相对小。因此用第二列与第一列进行互换后再进行下一步计算。,45,解：,运用上面化为上三角的方法来处理低一阶行列式的时候出现了困难!,注意到第二行和第四行相同知 该行列式值为0,=0,说明： 计算行列式的时候，不管用什么方法来求解都要 注意各种方法的灵活运用。,46,前面化为上三角行列式或下三角行列式只用到了性质2和性质5。,事实上，对于比较复杂的行列式仅用这两种方法是不够的，需要结合利用行列式的其他性质。有些行列式的计算还需要结合利用一些技巧。下面，我们将简单地介绍这些技巧。,互换行列式的两（列）,行列式变号.,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变,47,例 计算,法1： 分析：各列的元素之和为一定数。,利用性质2推论第一行有公因 子9可以提到行列式外。,将2,3,4行的元素全加到第一行对应位置的元素上，得,48,=9,49,练习 计算 阶行列式,解：把第2,3,n列各元素分别加到第1列对应位置 的元素上去，得,51,解：把第2,3,n列各元素分别 加到第1列对应位置的元素上去，得,例 计算n阶行列式,属于各列(行)元素加起来相等的类型),52,53,54,例 计算 阶行列式,解,例 解方程,解:,解之得 x1=a1,x2=a2,xn-1=an-1是方程的n-1个根.,解方程首先要先求解行列式。每行只有主对角线上元素不同，把第2,n行分别减去第一行,55,练习5,证明,证明,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立