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,二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,设函数,所证等式两边被积函数都连续,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,例1 计算,解 令,则, 原式 =,且,例2 计算,解 令,则, 原式 =,且,在该题解题过程中，若不写出新变量，则上下限也不要变更：,例3 计算,解,在 上,在 上,所以,由于,注意：,如果忽略 的正负变化，将导致计算错误.,例4 计算,解 令,则, 原式 =,且,例5,证,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,例6 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：,解 (1) 记,并由此计算,则,即,(2),周期的周期函数,则有,例 7,设函数,计算,解,则,当 时，,当 时，,且,设,于是,二、定积分的分部积分法,定理2,则,证,例8 计算,解,原式 =,例 9,计算,解,当 时，,当 时，,且,设,于是,则,例10,证 令,n 为偶数,n 为奇数,则,令,则,证明,Walls公式,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立 .,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限 配元不换限 边积边代限,思考与练习,1.,提示: 令,则,2. 设,解法1.,解法2.,对已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示: 两边求导, 得,得,3. 设,求,解,(分部积分),补充题,1. 证明,证,是以 为周期的函数.,是以
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