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第六节 方向导数与梯度,二、方向导数,三、梯度,一、问题的提出,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,问题的提出,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,一、方向导数,（如图）,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,推广可得三元函数方向导数的定义,二、梯度,结论,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 截得所得曲线,在xoy面上投影如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,等高线的画法,播放,例如,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,解,由梯度计算公式得,故,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,三、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,
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