【高考辅导资料】2010年高考数学热点：攻略数列

2010 届高考数学热点：攻略数列届高考数学热点：攻略数列 数列在中学数学中地位非常重要，它是衔接初等数学和高等数学的桥梁，是高考数学 每年必考的重要内容。内容涉及到数列概念、等差数列和等比数列通项及求和、数学归纳法 和数列极限等；它渗透了分类讨论和类比、归纳等重要的数学思想。事实上，在数列的复习 中，既要重视公式的应用，还要注意计算的合理性。在处理某些数列问题时，要渗透函数观 点，借助函数思想帮助解决；同时要注意新情景下的数列问题研究，有意识建立与等差数列、 等比数列的联系，探讨通项和求和问题；数学思想如分类思想、特殊化思想等在数列中的考 查，也是同学们在复习中必须重视的问题。 我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势：我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 一题型稳定：近几年来高考数列试题一直稳定在 1-2 个小题和 1 道大题上，分值约为 20 分左右， 占总分值的 12%左右，但是如果把数列与其他知识结合的综合题目，分值会更大。 二在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手: 1运用基本量思想(方程思想)解决有关问题； 2注意等差、等比数列的性质的灵活运用； 3注意等差、等比数列的前 n 项和的特征在解题中的应用； 4注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式； 5根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注 意从等差、等比、周期等方面进行归纳； 6掌握数列通项 an 与前 n 项和 Sn 之间的关系； 7根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列； 8掌握一些数列求和的方法 (1)分解成特殊数列的和 (2)裂项求和 (3)“错位相减”法求和 9以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数 列与几何等的综合应用 三方法总结 1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递 推关系式求通项。 2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通 常有化归等比数列和可裂项的形式。 3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多 个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。 四2010 年高考预测 1. 数列中 n S 与 n a 的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实 注意 n S 与 n a 的关系.关于递推公式，在考试说明中的考试要求是：“了解递推公式是给 出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项” 。但实际上，从近两年各地高考 试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。 2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然 后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求. 3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、 中等题，也有难题。 4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题 应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和. 5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所 在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查. 6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。 今后在这方面还会体现的更突出。 、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。 在近年高考中，对平面向量内容的考查的主要知识点和题型有：在近年高考中，对平面向量内容的考查的主要知识点和题型有： 等差数列的证明方法：等差数列的证明方法：1.1. 定义法：2等差中项：对于数列，若 n a 21 2 nnn aaa 等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：-该公式整理后是关于 n 的一次函数dnaan) 1( 1 等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和 1 2. 3. 2 )( 1n n aan S d nn naSn 2 ) 1( 1 BnAnSn 2 等差中项等差中项: : 如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或aAbAab 2 ba A baA2 等差数列的性质等差数列的性质: : 1等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项， n an m am 且，公差为，则有nm ddmnaa mn )( 2 对于等差数列，若，则。也就是： n aqpmn qpmn aaaa ， 23121nnn aaaaaa 3若数列是等差数列，是其前 n 项的和，那么， n a n S * Nk k S kk SS 2 成等差数列。如下图所示： kk SS 23 k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 4设数列是等差数列，：奇数项和，：偶数项和，是前 n 项和，则有如下 n a 奇 S 偶 S n S 性质： 1。当 n 为偶数时， 2。当 n 为奇数时，则，d 2 n S 奇偶 S 中偶奇 aSS 偶 奇 S S n n1 等比数列的判定方法等比数列的判定方法: : 定义法：若 等比中项：若，则数列是等比数列。)0( 1 qq a a n n 2 12 nnn aaa n a 等比数列的通项公式等比数列的通项公式: : 如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。 n a 1 aq 1 1 n n qaa 等比数列的前等比数列的前 n n 项和：项和：1 1。 2。 3。当时，) 1( 1 )1 ( 1 q q qa S n n ) 1( 1 1 q q qaa S n n 1q 1 naSn 等比中项等比中项: : 如果使，成等比数列，那么叫做与的等比中项等比中项。那么。aGbGababG 2 等比数列的性质等比数列的性质: : 1等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项， n an m am 且，公比为，则有nm q mn mn qaa 2对于等比数列，若，则也就是： n avumn vumn aaaa 。 23121nnn aaaaaa 3若数列是等比数列，是其前 n 项的和，那么， n a n S * Nk k S kk SS 2 成等比数列。如下图所示： kk SS 23 k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 一、选择题（每小题 5 分） 1.(2009 年广东卷文)已知等比数列 n a的公比为正数，且 3 a 9 a=2 2 5 a， 2 a=1，则 1 a= A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D.2 解析：解析：设公比为q,由已知得 2 284 111 2a qa qa q,即 2 2q ,又因为等比数列 n a的公 比为正数，所以2q ,故 2 1 12 22 a a q ,选 B 2.（2008 全国一 5）已知等差数列满足，则它的前 10 项的和 n a 24 4aa 35 10aa （ ） 10 S A138B135C95D23 解析：解析：C. 由； 24351101 4,104,3,104595aaaaadSad 3.（2009 广东卷 理）已知等比数列 n a满足0,1,2, n an，且 2 525 2 (3) n n aan ，则当1n 时， 2123221 logloglog n aaa A. (21)nn B. 2 (1)n C. 2 n D. 2 (1)n 解析：解析：由 2 525 2 (3) n n aan 得 n n a 22 2，0 n a，则 n n a2， 3212 loglogaa 2 122 ) 12(31lognna n ，选 C. 4.（2008 北京卷 6）已知数列对任意的满足，且，那 n a * pqN， p qpq aaa 2 6a 么等于（ ） 10 a ABCD165333021 解析：解析：由已知+ -12，+24,=+= -30 C C 4 a 2 a 2 a 8 a 4 a 4 a 10 a 8 a 2 a 5.（2009 安徽卷文）已知为等差数列，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 解析：解析： 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 (204)1aad .选 B。 6.（2009 江西卷文）公差不为零的等差数列 n a的前n项和为 n S.若 4 a是 37 aa与的等比中 项, 8 32S ,则 10 S等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 解析：解析：由 2 437 aa a得 2 111 (3 )(2 )(6 )adad ad得 1 230ad,再由 81 56 832 2 Sad得 1 278ad则 1 2,3da ,所以 101 90 1060 2 Sad,.故选 C 7.（2008 四川卷 7）已知等比数列中，则其前 3 项的和的取值范围是() n a 2 1a 3 S （） （） , 1 ,01, （） （）3, , 13, 解析：解析：D 由双勾函数的图象知，或，故本题选 3 1 1Sx x (0)x 1 yx x 1 2x x 1 2x x D本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质以上诸题，基本功扎实的 同学耗时不多 8.（2009 湖南卷文）设 n S是等差数列 n a的前 n 项和，已知 2 3a ， 6 11a ，则 7 S等于 【 C 】 A13 B35 C49 D 63 解析：解析： 1726 7 7()7()7(3 11) 49. 222 aaaa S 故选 C. 或由 211 61 31 5112 aada aadd , 7 1 6 213.a 所以 17 7 7()7(1 13) 49. 22 aa S 故选 C. 9.（2009 福建卷理）等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且 3 S =6， 1 a=4， 则公差 d 等于 A1 B 5 3 C.- 2 D 3 【答案】：C 解析：解析： 313 3 6() 2 Saa且 311 2 =4 d=2aad a.故选 C 10.（2008 江西卷 5）在数列中， ，则 ( ) n a 1 2a 1 1 ln(1) nn aa n n a A B C D2lnn2(1)lnnn2lnnn1lnnn 解析：解析：A ， 21 1 ln(1) 1 aa 32 1 ln(1) 2 aa 1 1 ln(1) 1 nn aa n 1 234 ln( )( )( )()2ln 1231 n n aan n 11.（2009 辽宁卷文）已知 n a为等差数列，且 7 a2 4 a1, 3 a0,则公差 d （A）2 （B） 1 2 （C） 1 2 （D）2 解析：解析：a72a4a34d2(a3d)2d1 d 1 2 【答案】B 12.（2009 辽宁卷理）设等比数列 n a的前 n 项和为 n S ，若 6 3 S S =3 ，则 6 9 S S = （A） 2 （B） 7 3 （C） 8 3 （D）3 解析：解析：设公比为 q ,则 3 63 33 (1)Sq S SS 1q33 q32 于是 6 36 9 3 11247 1123 Sqq Sq 【答案】B 13.（2009 宁夏海南卷理）等比数列 n a的前 n 项和为 n s，且 4 1 a，2 2 a， 3 a成等差数列。 若 1 a=1，则 4 s= （A）7 （B）8 （3）15 （4）16 解析：解析：4 1 a，2 2 a， 3 a成等差数列， 22 1321114 44,44,440,215aaaaa qa qqqq即，S,选 C. 14.（2009 四川卷文）等差数列 n a的公差不为零，首项 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等比中 项，则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案答案】B】B 解析：解析：设公差为d，则)41 (1)1 ( 2 dd.d0，解得d2， 10 S100 15.（2009 湖北卷文）设,Rx记不超过x的最大整数为x,令x=x-x，则 2 15 ， 2 15 , 2 15 A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B 解析：解析：可分别求得 5151 22 ， 51 1 2 .则等比数列性质易得三者构成等比数 列. 16.（2009 湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： . 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数; 类似地，称图 2 中的 1，4，9，16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正 方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C 解析：解析：由图形可得三角形数构成的数列通项(1) 2 n n an ，同理可得正方形数构成的数列 通项 2 n bn ，则由 2 n bn ()nN 可排除 A、D，又由(1) 2 n n an 知 n a必为奇数，故 选 C. 17.（2009 宁夏海南卷文）等差数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 2 11 0 mmm aaa ， 21 38 m S ,则m （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 【答案】C 解析：解析：因为 n a是等差数列，所以， 11 2 mmm aaa ，由 2 11 0 mmm aaa ，得：2 m a 2 m a0，所以， m a2，又 21 38 m S ，即 2 )(12( 121 m aam 38，即（2m1） 238，解得 m10，故选.C。 18.（2009 重庆卷文）设 n a是公差不为 0 的等差数列， 1 2a 且 136 ,a a a成等比数列，则 n a的前n项和 n S=（ ） A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 【答案】A 解析：解析：设数列 n a的公差为d，则根据题意得(22 )22 (25 )dd，解得 1 2 d 或 0d （舍去） ，所以数列 n a的前n项和 2 (1)17 2 2244 n n nnn Sn 19.（2009 安徽卷理）已知 n a为等差数列， 1 a+ 3 a+ 5 a=105， 246 aaa=99，以 n S表示 n a的前n项和，则使得 n S达到最大值的n是 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 解析：解析：由 1 a+ 3 a+ 5 a=105 得 3 3105,a 即 3 35a ，由 246 aaa=99 得 4 399a 即 4 33a ，2d ， 4 (4) ( 2)41 2 n aann ，由 1 0 0 n n a a 得20n ，选 B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20.（2009 江西卷理）数列 n a的通项 222 (cossin) 33 n nn an ，其前n项和为 n S，则 30 S为 A470 B490 C495 D510 答案：A 解析：解析：由于 22 cossin 33 nn 以 3 为周期,故 222222 222 30 12452829 (3 )(6 )(30 ) 222 S 22 1010 2 11 (32)(31)59 10 11 (3 ) 925470 222 kk kk kk 故选 A 21.（2009 四川卷文）等差数列 n a的公差不为零，首项 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等比中 项，则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 【答案答案】B】B 解析：解析：设公差为d，则)41 (1)1 ( 2 dd.d0，解得d2， 10 S100 二、填空题（每小题 5 分） 22.（2009 全国卷理） 设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 9 72S ,则 249 aaa= 。 解析：解析： n a是等差数列,由 9 72S ,得 59 9,Sa 5 8a 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa. 23.（2008 四川卷 16）设等差数列的前项和为，若，则的最大 n an n S 45 10,15SS 4 a 值为_。 解析：解析：由题意，即，4 1 1 4 3 410 2 54 515 2 ad ad 1 1 4610 51015 ad ad 1 1 235 23 ad ad 41 3aad 这是加了包装的线性规划，有意思建立平面直角坐标系，画出可行域 1 a od （图略） ，画出目标函数即直线，由图知，当直线过可行域内 1 1 235 23 ad ad 41 3aad 41 3aad 点时截距最大，此时目标函数取最大值本题明为数列，实为线性规划，着力考查(1,1) 4 4a 了转化化归和数形结合思想掌握线性规划问题画移求答四步曲，理解线性规划 解题程序的实质是根本这是本题的命题意图 因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线设， 11121 3(23 )(2 )adadad 由解得， 12 12 21 323 1 2 1 3 ， 111 3(23 )3(2 )adadad 由不等式的性质得： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 1 235 23 ad ad 1 1 (23 )5 3(2 )9 ad ad ，即 11 (23 )3(2 )4adad ，的最大值是 4 41 34aad 4 a 24.（2009 浙江理）设等比数列 n a的公比 1 2 q ，前n项和为 n S，则 4 4 S a 答案：15 解析：解析：对于 44 3 14 441 3 4 (1)1 ,15 1(1) aqsq saa q qaqq 25. （20082008 安徽卷 1414）在数列在中， n a 5 4 2 n an 2 12n aaaanbn ,其中为常数，则的值是 * nN, a blim nn nn n ab ab 解析：解析：1 从而。, 2 5 4 nan, 2 3 1 a 2 2 2 ) 2 5 4 2 3 ( 2 n n nn Sn a=2，则 2 1 b 1 2() 2 lim1 1 2() 2 nn n nn 26.（2009 浙江文）设等比数列 n a的公比 1 2 q ，前n项和为 n S，则 4 4 S a 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考 查充分体现了通项公式和前n项和的知识联系 解析：解析：对于 44 3 14 441 3 4 (1)1 ,15 1(1) aqsq saa q qaqq 27.（2009 浙江文）设等差数列 n a的前n项和为 n S，则 4 S， 84 SS， 128 SS， 1612 SS成等差数列类比以上结论有：设等比数列 n b的前n项积为 n T，则 4 T， ， ， 16 12 T T 成等比数列 答案： 812 48 , TT TT 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差 数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力. 解析：解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列 n b的前n项积为 n T，则 4 T， 812 48 , TT TT ， 16 12 T T 成等比数列 28. （2008 湖北卷 14）已知函数,等差数列的公差为.若( )2xf x x a2 ,则 .6 246810 ()4f aaaaa 212310 log ()() ()()f af af af a 解析：解析：依题意，所以 246810 2aaaaa 13579 25 28aaaaa 1210 6 12310 ()()()()22 aaa f af af af a 212310 log ()()()()6f af af af a 29.（2009 北京文）若数列 n a满足： 11 1,2() nn aaa nN ，则 5 a ；前 8 项的和 8 S .（用数字作答） 解析：解析：本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 属于基础知识、基本运算的考查. 121324354 1,22,24,28,216aaaaaaaaa， 易知 8 8 21 255 2 1 S ，应填 255. 30. （2008 湖北卷 15）观察下列等式： 2 1 11 , 22 n i inn 232 1 111 , 326 n i innn 3432 1 111 , 424 n i innn 4543 1 1111 , 52330 n i innnn 56542 1 1151 , 621212 n i innnn 67653 1 11111 , 722642 n i innnnn 212 11210 1 , n kkkkk kkkk i iana nanana na 可以推测，当2（）时， x * kN 11 11 , 12 kkk aaa k 12 k .，0 2k a 解析：解析：由观察可知当，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以，2k 时 1 12 k k a 第四项均为零，所以。 2 0 k a 31.（2009 北京理）已知数列 n a满足： 43412 1,0,N , nnnn aaaa n 则 2009 a_； 2014 a=_. 【答案答案】1，0 解析：解析：本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 依题意，得 20094 503 3 1aa ， 20142 100710074 252 1 0aaaa . 应填 1，0. 32.（2009 江苏卷）设 n a是公比为q的等比数列，| 1q ，令1(1,2,) nn ban，若 数列 n b有连续四项在集合53, 23,19,37,82中，则6q= . 解析：解析： 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 n a有连续四项在集合54, 24,18,36,81，四项24,36, 54,81成等比数列，公比为 3 2 q ，6q= -9-9 33.(2009 山东卷文)在等差数列 n a中,6 , 7 253 aaa,则_ 6 a. 解析：解析：:设等差数列 n a的公差为d,则由已知得 64 72 11 1 dada da 解得 1 3 2 a d ,所以 61 513aad. 答案:13. 【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 34.（2009 全国卷文）设等比数列 n a的前 n 项和为 n s。若 361 4, 1ssa，则 4 a= 答案：答案：3 3 解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由 361 4, 1ssa得 q3=3 故 a4=a1q3=3。 35.(2009 湖北卷理)已知数列 n a满足： 1 am（m 为正整数） ， 1 , 2 31, n n n nn a a a aa 当为偶数时， 当为奇数时。 若 6 a 1，则 m 所有可能的取值为_。. 【答案】4 5 32 解析：解析：（1）若 1 am为偶数，则 1 2 a 为偶, 故 2 23 a 224 amm a 当 4 m 仍为偶数时， 46 832 mm aa 故132 32 m m 当 4 m 为奇数时， 43 3 311 4 aam 6 3 1 4 4 m a w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故 3 1 4 1 4 m 得 m=4。 （2）若 1 am为奇数，则 21 3131aam 为偶数，故 3 31 2 m a 必为偶数 6 31 16 m a ，所以 31 16 m =1 可得 m=5 36.（2009 全国卷理）设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 53 5aa则 9 5 S S 9 . 解析：解析： n a为等差数列， 95 53 9 9 5 Sa Sa 37.（2009 辽宁卷理）等差数列 n a的前n项和为 n S，且 53 655,SS则 4 a 解析解析：Snna1 1 2 n(n1)d . S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4 【答案】 3 1 三解答题 38.(2009 湖北卷理)（本小题满分 13 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知数列 n a的前 n 项和 1 1 ( )2 2 n nn Sa （n 为正整数） 。 （）令2n nn ba，求证数列 n b是等差数列，并求数列 n a的通项公式； （）令 1 nn n ca n ， 12 nn Tccc试比较 n T与 5 21 n n 的大小，并予以证明。 解析解析：（：（I）在 1 1 ( )2 2 n nn Sa 中，令 n=1，可得 11 12 n Saa ，即 1 1 2 a 当2n 时， 21 1111 11 ( )2( ) 22 nn nnnnnnn SaaSSaa ， 11 n11 1 2a( ),21 2 nn nnn aaa n 即2. 11 2,1,n21 n nnnnn babbb n 即当时，b. 又 11 21,ba 数列 n b是首项和公差均为 1 的等差数列. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 于是1 (1) 12, 2 n nnn n n bnnaa . (II)由（I）得 11 (1)( ) 2 n nn n can n ，所以 23 1111 23 ( )4 ( )(1)( ) 2222 n n Tn K 2341 11111 2 ( )3 ( )4 ( )(1)( ) 22222 n n Tn K 由-得 231 11111 1 ( )( )( )(1)( ) 22222 nn n Tn K 1 1 1 11 1 ( ) 133 42 1(1)( ) 1 222 1 2 3 3 2 n n n n n n n n T 535(3)(221) 3 212212 (21) n n nn nnnnn T nnn 于是确定 5 21 n n T n 与的大小关系等价于比较221 n n与的大小w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 2345 22 1 1;22 2 1;22 3 1;22 4 1;22 5; K 可猜想当3221. n nn时，证明如下： 证法 1：（1）当 n=3 时，由上验算显示成立。 （2）假设1nk时 1 22 22(21)422(1) 1 (21)2(1) 1 kk kkkkk g 所以当1nk时猜想也成立 综合（1） （2）可知 ，对一切3n 的正整数，都有221. n n 证法 2：当3n 时 0121011 2(1 1)2221 nnnnnn nnnnnnnnn CCCCCCCCCnn K 综上所述，当1,2n 时 5 21 n n T n ，当3n 时 5 21 n n T n 39.（2009 四川卷文） （本小题满分 14 分） 设数列 n a的前n项和为 n S，对任意的正整数n，都有51 nn aS成立，记 * 4 () 1 n n n a bnN a 。 （I）求数列 n a与数列 n b的通项公式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）设数列 n b的前n项和为 n R，是否存在正整数k，使得4 n Rk成立？若存在，找出 一个正整数k；若不存在，请说明理由； （III）记 * 221( ) nnn cbbnN ，设数列 n c的前n项和为 n T，求证：对任意正整数n都 有 3 2 n T ； 【解析解析】 （I）当1n时， 111 1 51, 4 aSa 又 11 51,51 nnnn aSaS 1 11 1 5, 4 即 n nnn n a aaa a 数列 n a是首项为 1 1 4 a，公比为 1 4 q的等比数列， 1 () 4 n n a， * 1 4() 4 () 1 1 () 4 n n n bnN （II）不存在正整数k，使得4 n Rk成立。 证明：由（I）知 1 4() 5 4 4 1 ( 4)1 1 () 4 n n n n b 212 212 5552015 1640 8888. ( 4)1( 4)1161164(161)(164) k kk kkkkkk bb 当 n 为偶数时，设2 ()nm mN 1234212 ()()()84 nmm Rbbbbbbmn 当 n 为奇数时，设21()nmmN 1234232221 ()()()8(1)4844 nmmm Rbbbbbbbmmn 对于一切的正整数 n，都有4 n Rk 不存在正整数k，使得4 n Rk成立。 （III）由 5 4 ( 4)1 n n b 得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 212 22122 5515 1615 1615 1615 4141(161)(164)(16 )3 164(16 )16 nnn nnn nnnnnnnn cbb 又 122 134 3, 33 bbc， 当1n时， 1 3 2 T ， 当2n 时， 2 2 23 2 11 1 () 41114 1616 25 ()25 1 31616163 1 16 1 4693 16 25 1 3482 1 16 n n n T 14 分 40. （2008 全国一 22） 设函数数列满足，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( )lnf xxxx n a 1 01a 1 () nn af a （）证明：函数在区间是增函数；( )f x(01)， （）证明：； 1 1 nn aa （）设，整数证明： 1 (1)ba， 1 1ln ab k ab 1k ab 解析：解析：（）证明：，( )lnf xxxx ln ,0,1ln0