【高考辅导资料】2008年全国中考数学压轴题精选(8)(有答案共10套)

2008年全国中考数学压轴题精选(八)71（08江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究xlQCPAOBHRy如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于（1）求证：点为线段的中点；（2）求证：四边形为平行四边形；平行四边形为菱形；（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知，（1分），即为的中点（2分）法二：，（1分）又轴，（2分）（2）由（1）可知，（3分），又，四边形为平行四边形（4分）设，轴，则，则过作轴，垂足为，在中，平行四边形为菱形（6分）（3）设直线为，由，得，代入得： 直线为（7分）设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：，解得得公共点为所以直线与抛物线只有一个公共点（8分）72（08黑龙江齐齐哈尔28题）（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足（1）求点，点的坐标（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由（08黑龙江齐齐哈尔28题解析）解：（1），（1分），点，点分别在轴，轴的正半轴上（2分）（2）求得（3分）（每个解析式各1分，两个取值范围共1分）（6分）（3）；（每个1分，计4分）（10分）注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分73（08海南省卷24题）（本题满分14分）如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证： CB=CE ； D是BE的中点；（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.ABCODExyx=2图13（08海南省卷24题解析）（1） 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上， m=-2(-2)-1=3. （2分） B(-2,3) 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2， 点A的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). （3分）将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)， . 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. （6分） （2）直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5). 过点B作BGx轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，ABCODExyx=2GFH 则BG直线x=2，BG=4. 在RtBGC中，BC=. CE=5， CB=CE=5. （9分）过点E作EHx轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5).又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)， FD=DH=4，BF=EH=2，BFD=EHD=90. DFBDHE （SAS）， BD=DE.即D是BE的中点. （11分） （3） 存在. （12分） 由于PB=PE， 点P在直线CD上， 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点. 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b. 将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得 . 直线CD对应的函数关系式为y=x-1. 动点P的坐标为(x，)， x-1=. （13分）解得 ，. ，. 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).（14分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)74（08广东东莞22题）（本题满分9分）将两块大小一样含30角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ABD不动，将ABC向轴的正方向平移到FGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，FBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.EDCHFGBAPyx图1010DCBAE图9（08广东东莞22题解析）解：（1），1分等腰；2分 （2）共有9对相似三角形.（写对35对得1分，写对68对得2分，写对9对得3分） DCE、ABE与ACD或BDC两两相似，分别是：DCEABE，DCEACD，DCEBDC，ABEACD，ABEBDC；(有5对)ABDEAD，ABDEBC；(有2对)BACEAD，BACEBC；(有2对)所以，一共有9对相似三角形.5分K（3）由题意知，FPAE， 1PFB，又 1230， PFB230, FPBP.6分过点P作PKFB于点K，则. AFt，AB8， FB8t，.在RtBPK中，. 7分 FBP的面积， S与t之间的函数关系式为： ，或. 8分t的取值范围为：. 9分75（08甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；（2）如图19-2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标yxBCOADE图19-1yxBCOADE图19-2PMN（08甘肃兰州28题解析）（本题满分12分）解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，在中，点坐标为（2，4）2分在中， 又 解得：点坐标为3分（2）如图，又知， 又而显然四边形为矩形5分，又当时，有最大值6分（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图）在中，为的中点，yxBCOADE图PMNF又，为的中点过点作，垂足为，则是的中位线，当时，为等腰三角形此时点坐标为8分（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图）yxBCOADE图PMNF在中，过点作，垂足为，当时，（），此时点坐标为11分综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或12分76（08天津市卷26题）（本小题10分）已知抛物线，（）若，求该抛物线与轴公共点的坐标；（）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；（）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由（08天津市卷26题解析）解（）当，时，抛物线为，方程的两个根为， 该抛物线与轴公共点的坐标是和 2分（）当时，抛物线为，且与轴有公共点对于方程，判别式0，有 3分当时，由方程，解得此时抛物线为与轴只有一个公共点 4分当时， 时，时，由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有 即解得综上，或 6分（）对于二次函数，由已知时，；时，又，于是而，即 7分关于的一元二次方程的判别式， x抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方8分又该抛物线的对称轴，由，得，又由已知时，；时，观察图象，可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点 10分77（08湖北宜昌25题）如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示m，n是常数， m1，n0（1）请你确定n的值和点B的坐标；(图1) (图2) (第25题)（2）当动点P是经过点O，C的抛物线yaxbxc的顶点，且在双曲线y上时，求这时四边形OABC的面积（08湖北宜昌25题解析）解：(1) 从图中可知，当P从O向A运动时，POC的面积Smz， z由0逐步增大到2,则S由0逐步增大到m，故OA2，n2 . (1分)同理，AB1，故点B的坐标是(1，2).(2分)(2)解法一：抛物线yaxbxc经过点O(0，0)，C(m ，0),c0，bam，(3分)抛物线为yaxamx，顶点坐标为(，am2).(4分)如图1，设经过点O，C，P的抛物线为l.当P在OA上运动时，O,P都在y轴上，这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上，(25题图1)这时抛物线l不存在, 故不存在m的值.当点P与C重合时，双曲线y不可能经过P,故也不存在m的值.(5分)(说明：任做对一处评1分，两处全对也只评一分)当P在AB上运动时，即当02,与 x1不合，舍去.(6分)容易求得直线BC的解析式是：，(7分)当P在BC上运动，设P的坐标为 (x,y)，当P是顶点时 x，故得y，顶点P为(，)，1 x2，又P在双曲线y上，于是，化简后得5m22m220, 解得,(8分)与题意2xm不合,舍去.(9分)故由，满足条件的只有一个值：.这时四边形OABC的面积.(10分)(2)(25题图2)解法二：抛物线yaxbxc经过点O(0，0)，C(m ，0)c0，bam，(3分)抛物线为yaxamx，顶点坐标P为(，am2). (4分)m1，0，且m，P不在边OA上且不与C重合. (5分)P在双曲线y上，( am2)即a .当1m2时，1，如图2,分别过B，P作x轴的垂线，M，N为垂足，此时点P在线段AB上，且纵坐标为2，am22，即a.而a ， ，m2，而1m2，不合题意，舍去.(6分)当m2时，1，如图3,分别过B，P作x轴的垂线，M，N为垂足，ONOM，此时点P在线段CB上，易证RtBMCRtPNC，(25题图3)BMPNMCNC，即: 2PN(m1)，PN(7分)而P的纵坐标为 am2， am2，即a而a， 化简得：5m222m220.解得：m ，(8分)但m2，所以m舍去，(9分)取m .由以上,这时四边形OABC的面积为：(ABOC) OA(1m) 2. (10分)78(08福建龙岩25题)（14分）如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，C=60，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求AD的长；（2）设CP=x，问当x为何值时PDQ的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.（第25题图）（备用图）(08福建龙岩25题解析)（14分）（1）解法一：如图25-1过A作AECD，垂足为E . 依题意，DE=. 2分 在RtADE中，AD=. 5分图25-1 解法二：如图25-2 过点A作AEBC交CD于点E，则CE=AB=4 . 2分 AED=C=60. 又D=C=60， AED是等边三角形 . AD=DE=94=5 . 5分 （2）解：如图25-1图25-2CP=x，h为PD边上的高,依题意，PDQ的面积S可表示为：S=PDh 6分=(9x)xsin60=(9xx2) =(x)2. 8分由题意，知0x5 . 9分当x=时（满足0x5），S最大值=. 10分 （3）证法一：如图25-3假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . 11分 于是9x=x，x=. 此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP .PDQ恰为等边三角形 . 过点Q作QMDC，交BC于M，点M即为所求.连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .图25-3 易证MCPQDP，D=3 . MP=PD MPQD , 四边形PDQM是平行四边形 . 又MP=PD , 四边形PDQM是菱形 . 13分 所以存在满足条件的点M，且BM=BCMC=5=. 14分 注 本题仅回答存在，给1分. 证法二：如图25-4假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . 11分 于是9x=x，x=. 此时，点P、Q的位置如图25-4所示，PDQ恰为等边三角形 . 过点D作DOPQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ， MP=MQ . 易知1=C . PQBC . 又DOPQ， MCMD图25-4 MP= CD=PD 即MP=PD=DQ=QM 四边形PDQM是菱形 13分所以存在满足条件的点M，且BM=BCMC=5= 14分 注 本题仅回答存在，给1分.79（08四川达州23题）（10分）如图，将AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），ABO=60.（1）若AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标.（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与AOB的外接圆的位置关系，并加以说明.（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式.（08四川达州23题解析）解：（1）连结AD.MEFNABO=60,ADO=60.1分由点A的坐标为（3，0）得OA=3.在RtADO中有cotADO=,.2分OD=OAcotADO=3cot60=3=.点D的坐标为（0，）3分（2）DC与AOB的外接圆相切于点D，理由如下:由（1）得OD= ,OA=3.又C点坐标是（-1，0）,OC=1.4分AC=OA+OC=3+1=4,CD2+AD2=22+(2)2=42=AC25分ADC=90,即ADDC.由AOD=90得AD为圆的直径.DC与AOB的外接圆相切于点D6分（说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解.）（3）由二次函数图象过点O（0，0）和A（3，0）,可设它的解析式为 y=ax(x-3)（a0）.如图，作线段OA的中垂线交AOB的外接圆于E、F两点，交AD于M点，交OA于N点.由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E或F.EF垂直平分OA，EF是圆的直径.又AD是圆的直径,EF与AD的交点M是圆的圆心.7分由（1）、（2）得OA=3，AD=2.AN=OA=，AM=FM=EM=AD=.FN=FM-MN=-=,EN=EM+MN=+=.点E的坐标是( , )，点F的坐标是( , -).8分当点E为抛物线顶点时，有(-3)a=,a=.y=x(x-3).即y=x2+2x9分当点F为抛物线顶点时，有(-3)a=-,a=.y=x(x-3).即y=x2x.故二次函数的解析式为y=x2+2x或y=x2x .10分8