【高考辅导资料】物理奥赛辅导：第15讲_热学基础

第15讲热学基础一 分子动理论：分子动理论 的基本的观点；理想气体的压强与温度无论是振动还是迁移，都具备两个特点：a、偶然无序（杂乱无章）和统计有序（分子数比率和速率对应一定的规律如麦克斯韦速率分布函数，如图6-2所示）；b、剧烈程度和温度相关。气体分子的三种速率。最可几速率vP ：f(v) = （其中N表示v到v +v内分子数，N表示分子总数）极大时的速率，vP = ；平均速率：所有分子速率的算术平均值， =；方均根速率：与分子平均动能密切相关的一个速率，=其中R为普适气体恒量，R = 8.31J/(mol.K)。k为玻耳兹曼常量，k = = 1.381023J/K 压强的微观意义：温度的微观意义：上式表明，宏观量的温度只与气体分子的平均平动动能有关，它与热力学温度成正比，所以温度成为表征物质分子热运动剧烈程度的物理量。对所有物质均适用。对单个分子谈温度毫无意义。某些双原子分子中原子、之间的相互作用力（径向力），与原子中心间距r的关系为：，其中为正时代表斥力，为负时代表引力，a、b均为正量。设的质量远大于的质量m，在不受其它外力作用的条件下，在某惯性体系中可近似认为静止不动。试求在力平衡位置附近做微小振动的周期。证明理想气体的压强P = n，其中n为分子数密度，为气体分子平均动能。二气体状态方程的应用：克拉珀龙方程：气体密度：在不发生化学变化和物态变化的情况下，气体混合前后分子数不变，摩尔数不变，故有：道尔顿分压定律：各种不同化学成分的理想气体组成的混合气体，当其中各组分之间无化学反应，又无其它相互作用，混合理想气体的总压强等于各种气体组成部分的分压强之和。即状态图线：图，图，图。一个点表示一个状态，一段曲线表示一个过程气体实验三定律在压强不太大，温度不太低的条件下，气体的状态变化遵从以下三个实验定律a、玻意耳-马略特定律：一定质量气体温度不变时，P1V1 = P2V2或PV = 恒量b、查理定律：一定质量气体体积不变时， = 或 = 恒量c、盖吕萨克定律：一定质量气体压强不变时， = 或 = 恒量理想气体状态方程：一定质量的理想气体， = 或 = 恒量【例题5】如图6-7所示，在标准大气压下，一端封闭的玻璃管长96cm ，内有一段长20cm的水银柱，当温度为27且管口向上竖直放置时，被封闭的气柱长为60cm。试问：当温度至少升高到多少度，水银柱才会从玻璃管中全部溢出？【解说】首先应该明确的是，这是一个只有唯一解的问题还是一个存在范围讨论的问题。如果是前一种可能，似乎应该这样解： = ，即 = ，得：T2 = 380K但是，仔细研究一下升温气体膨胀的全过程，就会发现，在某些区域，准静态过程是不可能达成的，因此状态方程的应用失去意义。为了研究准静态过程是否可能达成，我们可以假定水银柱是受到某种制约而准静态膨胀的，这样，气柱的压强只受玻马定律制约（而与外界大气压、水银柱长没有关系），设为P 。而对于一般的末状态，水银柱在管中剩下的长度设为x 。从初态到这个一般的末态 = ，即 = ，得 P = 隔离水银柱下面的液面分析，可知 P 76 + x时准静态过程能够达成（P可以随升温而增大，直至不等式取等号），而P 76 + x时准静态过程无法达成（T升高时，P增大而x减小），水银自动溢出。所以，自动溢出的条件是：T （x2 + 20x + 7296）考查函数 y = （x2 + 20x + 7296）发现，当x = 10cm时，ymax = 385.2K而前面求出的x = 0时，T只有380K，说明后阶段无须升温，即是自动溢出过程（参照图6-8理解）。而T ymax即是题意所求。【答案】385.2K 。【例题6】图6-9是一种测量低温用的气体温度计，它的下端是测温泡A ，上端是压力计B ，两者通过绝热毛细管相连，毛细管容积不计。操作时先把测温计在室温T0下充气至大气压P0 ，然后加以密封，再将A浸入待测液体中，当A和待测液体达到热平衡后，B的读数为P ，已知A和B的容积分别为VA和VB ，试求待测液体的温度。【解说】本题是“推论2”的直接应用 = + 【答案】TA = 【例题7】图6-10所示是一定质量理想气体状态变化所经历的P-T图线，该图线是以C点为圆心的圆。P轴则C点的纵坐标PC为单位（T轴以TC为单位）。若已知在此过程中气体所经历的最低温度为T0 ，则在此过程中，气体密度的最大值1和最小值2之比1/2应等于多少？【解说】本题物理知识甚简，应用“推论1”即可。 = = = 此式表明，越大时，就越大。故本题归结为求的极大值和极小值。方法一：P与T的关系服从圆的方程（参数方程为佳）T = Tc + rcosP = PC + rsin引入 y = = ，然后求这个函数的极值方法二：见图6-11，从的几何意义可知，等于状态点到原点的连线与T轴夹角的正切值，求的极大和极小归结为求这个正切值的极大和极小很显然，当直线与圆周的两处相切时，出现了这样的极大和极小值。max = + ，min = 而 tg= sin= tg= （注意：依题意，r = TC T0 ）所以 tgmax = = tgmin = = 【答案】/。三热力学定律的应用：理想气体的内能：，式中为分子总数，为摩尔数，k为玻尔兹曼常数，为普适气体恒量。i为分子的自由度。对于单原子分子气体（如He,Ne,Ar）,i=3,对于双原子分子（如O2,H2,CO），i=5,对于多原子分子气体i=6理想气体内能的变化：吸放热的计算初中所学的通式Q = cmT仍适用，但值得注意的是，对固体和液体而言，比热容c基本恒定（和材料相关），但对气体而言，c会随着过程的不同而不同。对理想气体，我们一般引进“摩尔热容”C（从克拉珀龙方程知，我们关心气体的摩尔数更甚于关心气体的质量），物理意义：1摩尔物质温度每升高1K所吸收的热量。摩尔热容和比热容的关系C = 。摩尔热容：物质每升高所吸收的热量。对气体而言，可分为定容摩尔热容和定压摩尔热容。等容过程的吸热：Q = CVT等压过程的的吸热： Q = CPT对于其它的复杂过程而言，摩尔热容的表达比较困难，因此，用直接的途径求热量不可取，这时，我们改用间接途径：即求得E和W后，再用热力学第一定律求Q 。气体做功的计算：气体在状态变化时，其压强完全可以是变化的，所以气体压力的功从定义角度寻求比较困难。但我们可以从等压过程的功外推到变压过程的功（无限分割代数累计），并最终得出这样一个非常实用的结论：准静态过程理想气体的功W总是对应P-V图象中的“面积”。这个面积的理解分三层意思如果体积是缩小的，外界对气体做功，面积计为正；如果体积是增大的，气体对外界做功，面积计为负；如果体积参量变化不是单调的（例如循环过程），则面积应计相应的差值。如图6-3所示。热力学第一定律：E=W+Q,注意各量的正负号的规定。1.热力学第一定律对于理想气体等值过程的应用等容过程 等容过程的特征是气体体积保持不变，故，由热力学第一定律可知，在等容过程中，气体与外界交换的热量等于气体内能的增量：.称做定容摩尔比热容，为分子的自由度，对于单原子分子气体，；对于双原子分子气体，；而对于多原子分子气体.为摩尔气体常数， 等压过程 等压过程的特征是气体压强保持不变，,由热力学第一定律可得，在等压变化过程中气体与外界交换的热量为.称做定压摩尔比热容，而称为比热容比对于单原子分子气体，；而双原子分子气体，；多原子分子气体则有.、及均只与气体分子的自由度有关而与气体温度无关. 等温过程 等温过程的特征是气体温度保持不变，由于理想气体的内能取决于温度，故，由热力学第一定律可知在等温变化过程中气体与外界交换的热量为.理想气体在等温变化中，,设气体体积从膨胀到，压强从减小到，所做的功为，将这个功等分，每份元功，即，两边取次方得，当时，则. 绝热过程 气体在不与外界发生热交换的条件下所发生的状态变化称做绝热过程，其特点是，由热力学第一定律可得.绝热过程中气体方程为，则对某一元过程有；而此元过程气体做元功为 ，则有，即有 .若令(，为一定值)则有，同理可得，可知在绝热过程中气体的压强与体积有关系，此称泊松方程.通过消去泊松方程中的或，可得.绝热过程的这三个方程中，常量各不相同，大小与气体的质量及初始状态相关，绝热过程中、均改变，我们可按照问题的性质，适当地选取较方便的来应用 多方过程 我们可用(为一常量，称多方指数)来表示气体发生状态变化的实际过程，时为等温过程；时为绝热过程；时为等压过程；当时为等容过程凡可满足关系的过程均称为多方过程通常的气体变化过程均为多方过程，而等值过程只是多方过程的特例在多方过程中气体从状态、进入状态、，所做的功为.气体内能的增量为，由热力学第一定律知；若以表示多方过程的摩尔比热容，则有，由上两式并注意到，可得 . 理想气体各等值过程和多方过程有关规律一览 2.热力学第二定律 循环过程 若一系统由某一状态出发，经过任意的一系列的过程，最后又回到原来的状态，这样的过程称为循环过程.循环过程中系统对外所做的功 如图161所示为某一系统的准静态循环过程在膨胀过程段，系统对外所做的功()是正的，其数值与面积相等；在压缩过程段，系统对外做功()为负，其数值与面积相等在一循环中系统对外所做的功就是这两段功的代数和(上述两个“面积”的差)，即面积-面积=面积.可见，在一循环中系统对外所做的功，数值上等于图161所示图中闭合曲线的“面积”.若循环沿顺时针方向进行。这个功是正的，相应的循环称为正循环；若循环沿逆时针方向进行，一个循环中系统对外所做的功为负，数值仍等于闭合曲线所包围的面积，相应的循环称为负循环设表示在状态时系统的内能，表示在状态时系统的内能，并设在膨胀过程中吸收了热量，由热力学第一定律可知；同理，设在段压缩过程，系统放出了热量，由热力学第一定律可知：，可知，此式表示，一循环中系统对外所做的功，等于一循环中系统吸收的净热量即吸收热量与放出热量的差. 热机及其效率 设一系统做正循环，那么，系统在膨胀阶段所吸收的热量大于在压缩阶段放出热量，其差值转变为一循环中系统对外所做的功，能完成这种转变的机械称为热机，热机的物理本质就是系统做正循环热机的主要部分是：一个高温热源(发热器)，用来供给的热量；一个低温热源(冷却器)，用来吸取的热量；一种工作物质(如水、空气或水蒸气等)，以及盛工作物质的气缸、活塞等 对于热机，最重要的问题在于由高温热源吸取的热量中，究竟有多少可以转变为功，至于低温热源所吸收的热量的多少，并不重要因此定义了热机的效率为：一循环中系统对外所做的功与由高温热源吸取的热量的比值，即.热机效率的大小，由循环的具体结构、性质而定. 制冷机及其效率 设一系统做负循环，则为负，为正，且，为负，即一循环中系统对外做了的负功；又系统从低温热源吸收了较少的热量，而在高温热源放出了较多的热量，因而一循环中放出的净热量为.所以系统在一负循环中，外界对系统做了功的结果为：系统在低温热源吸人热量连同转变而成的热量，一并成为的热量放入高温热源，结果将热量由低温热源输送到高温热源，这就是制冷机(也叫热泵)的原理对制冷机，要关心的问题是：一循环中系统做了功后，有多少热量由低温热源输送到高温热源去了，因此把定义为制冷机的制冷系数有时也把叫做制冷机的效率，可以看出，制冷机的效率越高，制冷系数越小，经济效能越低 在技术上使用热机的种类很多，有蒸汽机、内燃机和制冷机等，图162分别表示蒸汽机和制冷机的工作过程框图 卡诺循环 为方便研究热机效率问题，19世纪20年代，法国工程师卡诺设计了一个理想循环，即只在两个有恒定温度的高、低温热源吸、放热，此即卡诺循环，按此种方式工作的热机称为卡诺机 图163给出了卡诺机模型卡诺机中的工作物质是理想气体，被一个绝热活塞封闭在气缸中，缸的四壁是完全绝热和光滑的，缸底则是理想导热的；绝热台；一个温度为的高温热源；一个温度为的低温热源，两个热源的热容量极大，温度几乎不变卡诺循环的过程可用图164状态图线表示，气体从初始状态开始，沿箭头方向经历下列过程；：将气缸移到高温热源上，让它缓慢地做等温膨胀，体积由膨胀到，在等温过程中，温度恒为，共吸收热量，过程沿等温线进行；：将气缸移到绝热台上，让它做绝热膨胀，气体温度逐渐下降，到达状态时，温度已降为，体积膨胀到，过程沿绝热线进行； ：将气缸移到低温热源上，将气体压缩，温度保持在，压缩中不断放出热量，一直压缩到状态，共放出热量，状态的体积为，它是过点的等温线和过点的绝热线的交点，过程沿等温线进行； ：将气缸移到绝热台，经过绝热压缩，气体温度逐渐升高，直到返回原来状态，过程沿绝热线进行 这样完成了一个卡诺循环过程，它是由两个等温过程、和两个绝热过程、组成.卡诺循环中的能量转化过程可用图165表示 卡诺循环的效率 为使对卡诺循环的讨论具有确切的意义，上面四个过程都必须是准静态过程，一卡诺循环的结果是：工作物质恢复到原来状态，高温热源失去了的热量，表示等温膨胀过程中系统对外所做的功；低温热源获得了的热量，是等温压缩过程中系统对外所做的功，一循环中系统对外所做的总功为：，其数值等于闭合曲线所包围的面积，是正值根据热机效率的定义，卡诺循环的效率为，在过程中吸收的热量，在过程中放出的热量.又、为绝热过程，即，.有，所以，.因此卡诺循环的效率为 同时也可推导出，即 .从结果可看出，卡诺循环的效宰只由两个热源的温度而定，越高，越低，效率越高热力学第二定律 热力学第二定律的克劳修斯表述：在低温热源吸取热量，把它全部放入高温热源而不引起其他变化是不可能的这是从热传导的方向性来表述的，也就是说，热传导只能是从高温热源向低温热源方向进行的 热力学第二定律的开尔文表述：从单一热源吸取热量，把它完全转变为功而不引起其他变化是不可能的这是从机械能与内能转化过程的方向来表述的，也就是说，当将内能转变为机械能时，若不辅以其他手段是不可能的 上述两种表述是完全等效的，若承认其中一种表述，可以推出另一种表述热力学第二定律也使人们认识到，自然界中进行的涉及热现象的宏观过程都具有方向 热力学第二定律与热力学第一定律相比，后者表明能量在转换中所遵从的数量守恒关系，指出第一类永动机是不可能造成的：而前者则指明了能量转换过程进行的方向，指出了第二类永动机是不能制成的。二者是不抵触的，也不互相包容，是两条独立的定律 热力学第二定律的适用对象是与周围环境没有任何相互作用的、大量粒子组成的孤立系统，研究孤立系统中大量微观粒子运动过程中总体所反映出来的物理性质及各种宏观物理过程。 3. 可逆过程与不可逆过程 可逆过程与不可逆过程如图166所示，若一系统的状态由起，经、等到达状态，就说系统经历了过程.若系统能沿相反方向、经相反次序，由起，经、而返回状态，且返回后，四周物质并无任何变化(如做多少功，吸放多少热等)就说过程(或)是一个可逆过程凡不满足上述要求的过程，称为不可逆过程. 如设图163的气缸中有一定量的理想气体，把它放在温度为的热源上。设活塞是光滑的，在它的上面放有很多个质量极小的砝码，由于它们的重力，使气体受到一定的压力若将这些小砝码一个一个地依次横移到一系列与砝码等高的平台上，则气体将逐渐膨胀，一点一点地从热源吸收热量，转变为抵抗砝码重力所做的功，这些功又转变为各砝码的重力势能这个过程一直进行到活塞达到一定的位置，这就是一个等温膨胀过程。然后将平台上的砝码一个一个横移回到活塞上，气体将逐渐地压缩，砝码的重力势能减少，转变为压缩气体所做的功，这些功又转变为热量，一点一点地传回到热源中去，砝码全部放回，活塞回到了原位，这样就说明了无摩擦的等温膨胀过程是一个可逆过程可以说，无摩擦的准静态过程都是可逆的，严格地说，只有可逆过程才能画在图上 如膨胀过程是迅速的，气缸中的气体上疏下密，但反向进行，即迅速压缩时上密下疏，过程就不能沿相同状态依相反次序进行，所以是不可逆的，这种过程由非平衡态组成，是不平衡地进行的。可以说，一切不平衡地进行的过程都是不可逆的 一切实际过程都是不可逆的，可逆过程只是为了简化问题设想的理想情况 对于循环过程，如果循环过程中的每一步都是可逆的，则循环过程称为可逆循环如果循环过程中有一步是不可逆的，便是不可逆循环 从可逆与不可逆过程的角度来说，热力学第二定律的开尔文表述说明功变热是一个不可逆的过程；克劳修斯表述说明热传导也是一个不可逆过程 热力学第二定律的统计意义 对大数事件，如在次实验中，某一事件出现的次数设为，则该事件的几率可定义为几率只能近似地预言实验结果，不能十分精确地和实验结果一致为了更好地理解热力学现象中的几率问题，下面以气体在真空中的膨胀来说明 如图167所示，设一隔板将容器分成体积相等的、两部分，最初部分中有4个分子，设为；部分真空，抽去隔板后，有的分子就可能进入中，从宏观角度说，就是气体膨胀进入真空由于分子运动的杂乱性，某一时刻可能A、中各有2个分子；也有可能中有3个，月中有1个；也可能中1个，中有3个分子，也有可能四个分子同时回到了中，如果这时把隔板加上，系统就回到了原来的状态了，此时外界也没有发生什么变化，所以对4个分子来说，气体在真空中的膨胀现象是可逆的那么这4个分子同时回到部分的几率是多大呢?即这种可逆过程的存在几率有多大呢?不难理解应为那么当中气体的分子个数很多时(事实也往往如此)，设为个，那么如上所述的几率应为若以1023个计的话，可见其几率是非常小的，小到了已没有实际意义即事实上，这种可逆过程的存在的几率是极小的，所以该过程实为一不可逆过程 又如摩擦生热现象，根据热力学第二定律，也是不可逆的，从统计的角度来看，就是要将摩擦所产生的热全部自动收集起来，全部转化为机械功，这种自发现象的存在几率也是极小的，因此是一不可逆过程 二、热力学典型问题例析 例题8】0.1mol的单原子分子理想气体，经历如图6-13所示的ABCA循环，已知的状态途中已经标示。试问：（1）此循环过程中，气体所能达到的最高温度状态在何处，最高温度是多少？（2）CA过程中，气体的内能增量、做功情况、吸放热情况怎样？【解说】（1）介绍玻马定律的P-V图象，定性预计Tmax的大概位置（直线BC上的某一点）。定量计算PV的极大值步骤如下BC的直线方程为 P = V + 2y = PV = V2 + 2V显然，当V = 2时，y极大，此时，P = 1 代入克拉珀龙方程：11052103 = 0.18.31Tmax ，解得 Tmax = 240.7K（2）由克拉珀龙方程可以求得 TC = 180.5K = TB ，TA = 60.2KE = RT = 0.18.31(60.2180.5) = 150.0J根据“面积”定式，W = 0.5105210-3 = 100J计算Q有两种选择：a、Q = CPT = 0.18.31（60.2180.5) = 250.0J b、Q = E W = 250.0J【答案】（1）V = 2103时，Tmax为240.7K；（2）内能减少150.0J，外界对气体做功100J，气体向外界放热250J 。思考一BC过程气体吸放热的情况又怎样？解由于BC过程一直是气体对外界做功，但内能却是先增后减，所以过程的吸放热情况会复杂一些。由E = Q + W不难看出，TB到Tmax阶段肯定是吸热，但在Tmax到TC阶段则无法定性判断。所以这里启用定量方法在Tmax到TC阶段取一个极短过程V （V +V），在此过程中E = RT = （PV） （PV + VP）由于 P = V + 2 ，有P = V故E = （2V）V又 W = V（P +PP）= PV +PV PV =（V2）V （“过程极短”的缘故）所以 Q = EW =（52V）VQ 0时，气体开始放热，即 V 2.5时开始吸热（转变体积V= 2.510-3m3 ，对应转变压强P= 0.75105Pa ，转变温度T= 225.6K）。a、吸热阶段：E = 0.18.31（225.6180.5）= 56.2J W = （1.5 + 0.75）105（2.51）10-3 = 168.8J Q = EW = 225.0Jb、放热阶段：E = 0.18.31（180.5225.6）= 56.2J W = （0.5 + 0.75）105（32.5）10-3 = 31.3J Q = EW = 24.9J（说明：如果针对BC全程计算，不难得出Q = 200.0J 。那么，分出吸热、放热的细节是不是没有必要呢？不能这样认为。因为热传递的过程具有不可逆性，所以这里的热量“总帐”对气体可能是与“细帐”没有区别，但对外界而言，吸热必然是来自高温热源，而放热却是针对低温热源，它们就象同一个公司的两个不同贸易伙伴，算清具体往来显然是必要的。）答从高温热源吸收225.0J的热量，向低温热源放出24.9J的热量。思考二BC过程吸热过程和放热过程的摩尔热容分别是多少？解答解略。吸热过程C1 = 49.9J/(molK)，放热过程C2 = 5.54 J/(molK)。思考三整个循环的效率是多少？解答AB过程吸热 Q = CVT = 0.18.31(180.560.2)= 150.0J ，BC过程吸热225J ，CA过程只放热，所以全过程（从高温热源）的吸热总量为375J。整个循环对外做的功就是ABC的面积，绝对值为1.01052103 = 100J所以，效率 = = = 26.7% 。（从这个计算我们可以进一步领会区分吸热和放热的重要性。）例l 定容摩尔热容量为常量的某理想气体，经历如图168所示的平面上的两个循环过程和，相应的效率分别为和，试比较和的大小 分析与解 循环过程的效率为，其中是气体经循环过程对外所做的功，为气体从外界吸收的热量本题与两个循环过程的功，可从图168中的直角三角形面积所得在循环过程中，阶段气体对外做功，内能增大，吸收热量；为等容降压过程，温度降低，放出的热量为(为气体的摩尔数)；为等压过程，温度降低，放出的热量为因此循环过程中的吸热量就是过程的吸热量。循环过程的情形也类似 先计算循环过程效率，设气体的摩尔数为循环过程对外所做的功即为图中三角形的面积，为.式中和如分别是理想气体在状态和时的压强 又过程是通过原点的直线，过程的方程可写为因此,代入表达式，得又直线过程是多方过程，指数为，过程方程式为，此多方过程的摩尔热容量为，式中是气体的绝热指数 设和状态的温度分别为和，则有；，相减得，所以循环过程中所吸收的热量为可知循环过程的效率为；同理，循环过程的效率为 . 以上两式表明，两循环过程的效率与直线或的斜率大小无关，而只与及、有关，其中也与直线的斜率无关，因此只要相应的和相同，效率就相同，所以，两循环过程的效率相同，即. 例2 在两端开口的竖直U形管中注入水银，水银柱的全长为将一边管中的水银下压，静止后撤去所加压力，水银便会振荡起来，其振动周期为；若把管的右端封闭，被封闭的空气柱长，然后使水银柱做微小的振荡，设空气为理想气体，且认为水银振荡时右管内封闭气体经历的是准静态绝热过程，大气压强相当水银柱产生的压强空气的绝热指数为(1)试求水银振动的周期；(2)求出与、的关系式. 分析与解 右端封闭后，随着水银柱的振荡，被封闭的空气经历绝热膨胀或绝热压缩过程；封闭端的空气与外界空气对水银柱压力差提供水银柱做微小振动的回复力，本题关注回复力的构成及所循规律 (1)如图169所示，、分别表示水银柱处于平衡位置、达到振幅位置时和有一任意小位移时的三个状态建立如图坐标，设水银柱位移为时，封闭气体的压强为，U形管横截面积为，水银柱总质量为，水银密度为.对被封闭气体的、状态由泊松方程可知，其中，得 .由于，上式可近似为.对状态，研究水银柱受到的回复力，回复力即由高度差为的水银柱的重力、内外气体压力的合力提供，以位移方向为 正，即为.令 ，得 可知水银柱的微小振荡为一简谐运动，其周期为. (2)由上述和得，故. 例3 一热机工作于两个相同材料的物体和之间，两物体的温度分别为和 ()，每个物体的质量为、比热容恒定，均为，设两个物体的压强保持不变，且不发生相变 (1)假定热机能从系统获得理论上允许的最大机械能，求出两物体和最终达到的温度的表达式，给出解题的全部过程 (2)由此得出允许获得的最大功的表达式 (3)假定热机工作于两箱水之间，每箱水的体积为2.50m3，一箱水的温度为350 K，另一箱水的温度为300K计算可获得的最大机械能 已知水的比热容=4.19103Jkg-1K-1，水的密度1.00103kgm-3分析与解 (1)为获得最大的机械能，可设热机工作的全过程由个元卡诺循环组成，第次卡诺循环中，卡诺热机从高温热源(温度设为)处吸收的热量为后，温度降为；在低温热源(温度设为)处放出的热量为后，温度升高为满足. 又 ，可知 ，令，.有.即，解得 ，所以. (2)由卡诺热机的循环过程可知： (3)根据题意代人数据即可得：2.0107J 例4 已知(mol)的某理想气体在时的定容热容，在时的定容热容，其中、均为大于1的常量，该气体经历的循环过程是如图1610所示的矩形(1)试求状态的温度，并画出循环过程中系统内能随温度变化的图线，(2)试计算循环过程的效率. 分析与解 本题中理想气体所经历的循环过程曲线呈矩形，其中：为等容升压，为等压膨胀；为等容降压；为等压压缩设状态参量为、；状态参量为、；状态参量为、；状态参量为、(1)由理想气体状态方程，可知.由此也可知，在过程中存在状态，该状态时的温度为(2)本题中理想气体内能为，状态内能为，其他状态的内能依次为，.又在、 (温度均为)状态时，定容热容量发生了突变，这意味着该理想气体分子的某一运动自由度刚好在时被激发，因此，系统在状态时会出现不升温的吸热，内能变为，在状态时，会出现不降温的放热，内能变为所以和的关系应完整地表达为循环过程中系统内能随温度变化的图线如图1611所示 注意，图线中从状态到状态的等容过程并不经过状态，从态到态的等压过程并不经过状态，同样从态到态的等容过程中不经过态，但经过状态又、状态因为温度相同，所以内能也相同，图1611中用同一点表示，另外、状态的温度刚好是定容热容量发生突变的温度，出现了不升温的吸热或放热，导致内能变化，所以，两者在图中是一段等温线。同样状态也不是过程中的状态，但与过程中某状态具有相同的内能和温度 (3)一个循环过程中，气体对外所做功的大小为图1610中矩形面积，即为又,所以有. 循环过程中属吸热过程的是、在状态时因定容热容量发生突变而造成的吸热，吸收的热量分别为、:；.则一循环中吸收的总热量为：.所以循环过程的效率为.12、如图所示，A和B是两个圆筒形绝热容器，中间用细而短的管子连接，管中有导热性能良好的阀门K ，而管子和阀门对外界却是绝热的。F是带柄的绝热活塞，与容器A的内表面紧密接触，不漏气，且不计摩擦。开始时，K关闭，F处于A的左端。A中有摩尔、温度为T0的理想气体，B中则为真空。现向右推动F ，直到A中气体的体积与B的容积相等。在这个过程中，已知F对气体做功为W ，气体温度升为T1 ，然后将K稍稍打开一点，使A中的气体缓慢向B扩散，同时让活塞F缓慢前进，并保持A中活塞F附近气体的压强近似不变。不计活塞、阀门、容器的热容量，试问：在此过程中，气体最后的温度T2是多少？12、解说】为求温度，可以依据能量关系或状态方程。但事实证明，仅用状态方程还不够，而要用能量关系，摩尔热容、做功的寻求是必不可少的。过程一：K打开前，过程绝热，据热力学第一定律，E = W又由 E = CVT 知E = CV（T1 T0）因此，CV = 而且在末态，P1 = 过程二：K打开后，过程仍然绝热，而且等压。所以，W= P1（V1 V1） ，其中V1为A容器最终的稳定容积。学员思考此处求功时V只取A容器中气体体积改变而不取整个气体的体积改变，为什么？因为B容器中气体为自由膨胀的缘故为求V1，引进盖吕萨克定律 = 从这两式可得 W= P1V1 而此过程的E= CVT = CV（T2 T1） （注意：这里是寻求内能增量而非热量，所以，虽然是等压过程，却仍然用CV而非CP）最后，结合式对后过程用热力学第一定律即可。【答案】T2 = T1 。13、如图所示，在一个横截面积为S的封闭容器中，有一质量M的活塞把容器隔成、两室，室中为饱和水蒸气，室中有质量为m的氮气，活塞可以在容器中无摩擦地滑动。开始时，容器被水平地放置在地面上，活塞处于平衡，、两室的温度均为T0 = 373K，压强为P0 。现将整个容器缓慢地转到竖直位置，两室的温度仍为T0 ，但室中有少量水蒸气液化成水。已知水的汽化热为L ，水蒸气和氮气的摩尔质量分别为1和2 ，试求在整个过程中，室内系统与外界交换的热量。13、【解说】容器水平放置时，设水蒸气的体积为V1 ，氮气的体积为V2 ；直立时，设有体积为V的水蒸气液化成水。直立后水的饱和气在同温度下压强不变，故氮气的压强 P = P0在直立过程，对氮气用玻-马定律 P0V2 = P（V2 + V）结合以上两式可得V = V2 为解决V2 ，对初态的氮气用克拉珀龙方程 P0V2 = RT0 这样，V = 所以，水蒸汽液化的质量（用克拉珀龙方程）为 m = V = 这部分水蒸气液化应放出热量 Q =mL = 【答案】向外界放热。19一卡诺机在温度为27C和127C两个热源之间运转，（1）若在正循环中，该机从高温热源吸热1.2103cal，则将向低温热源放热多少？对外作功多少？（2）若使该机反向运转（致冷机），当从低温热源吸热1.2103cal热量，则将向高温热源放热多少？外界作功多少？解：（1） 。（2）对卡诺制冷机 ， 图27-318有一气缸，除底部外都是绝热的，上面是一个不计重力的活塞，中间是一块固定的导热隔板，把气缸分隔成相等的两部分A和B，上、下各有1mol氮气（图27-3），现由底部慢慢地将350J热量传送给缸内气体，求（1）A、B内气体的温度各改变了多少？（2）它们各吸收了多少热量。若是将中间的导热隔板变成一个绝热活塞，其他条件不变，则A、B的温度又是各改变多少（不计一切摩擦）？解：A、B中间的隔板导热，因而A、B两部分气体温度始终相同，B中温度升高后将等压膨胀。设末态时A、B温度为，对B部分气体有 B部分气体对外做功为 A、B两部分气体的内能增量为 根据热力学第一定律得即 对A部分气体有 以B部分气体有 16质量为m1的圆筒水平地放置在真空中，质量为m2、厚度可忽略的活塞将圆筒分为体积相同的两部分（图23-13（a），圆筒的封闭部分充有n摩尔的单原子理想气体，气体的摩尔质量为M，温度为T0，突然放开活塞，气体逸出。试问圆筒的最后速度是多少？设摩擦力、圆筒和活塞的热交换以及气体重心的运动均忽略不计。(T0=273K,m1=0.6kg,m2=0.3kg,n=25mol,氦的摩尔质量为图23-13（b）410-3kg/mol,cV=12.6J/molK,=5/3）解：过程的第一阶段是绝热膨胀，膨胀到两倍体积后（图23-13（b）温度将是T，根据绝热方程，有 因此 圆筒和活塞的总动能等于气体内能的损失，即 根据动量守恒定律， 解上述方程，得过程第一阶段结束时的圆筒速度： 由此得出结论，在过程第一阶段的最后瞬间，圆筒以速度向右运动，此时活塞正好从圆筒冲出。我们把坐标系设置在圆筒上，所给的是一个在真空中开口的圆筒，筒内贮有质量为nM、温度为T的气体。显然，气体将向右方流动，并推动圆筒向右以速度运动，气体分子的动能由下式给出： 式中是分子的平均速度注：指均方根速率，它由下述关系式给定： 平衡状态下各有1/6的分子在坐标轴方向来回运动。在计算气体逸出时，假定有1/6的分子向圆筒的底部运动。这自然只是一级近似。因此，的质量以速度向圆筒底部运动，并与筒底作弹性碰撞。之后圆筒以速度、气体以速度运动。对于弹性碰撞，动量守恒定律和机械能守恒定律成立。由动量守恒有 由机械能守恒有 解以上方程组，得到气体逸出后的圆筒速度为 气体分子的1/6以速度反弹回来，的绝对值要小于。气体必然有较低的温度，其一部分内能使圆筒的动能增加。速度相加后得圆筒速度为，代入所给的数据： ； ； 得圆筒的最后速度为 四、相变相：热学系统中物理性质均匀的部分。系统按化学成分的多少和相的种类多少可以成为一元二相系（如冰水混合物）和二元单相系（如水和酒精的混合液体）。相变分气液相变、固液相变和固气相变三大类，每一类中又有一些具体的分支。相变的共同热学特征是：相变伴随相变潜热。1、气液相变，分气化和液化。气化又有两种方式：蒸发和沸腾，涉及的知识点有饱和气压、沸点、汽化热、临界温度等。a、蒸发。蒸发是液体表面进行的缓慢平和的气化现象（任何温度下都能进行）。影响蒸发的因素主要有液体的表面积、液体的温度、通风条件。从分子动理论的角度不难理解，蒸发和液化必然总是同时进行着，当两者形成动态平衡时，液体上方的气体称为饱和气，饱和气的压强称为饱和气压PW 。同一温度下，不同液体的PW不同（挥发性大的液体PW大），但同种液体的PW有唯一值（与气、液的体积比无关，与液体上方是否存在其它气体无关）；同一种液体，在不同的温度下PW不同（温度升高，PW增大，函数PW = P0 ，式中L为汽化热，P0为常量）。汽化热L ：单位质量的液体变为同温度的饱和气时所吸收的热量，它是相变潜热的一种。汽化热与内能改变的关系L = E + PW（V气 V液） E + PWV气b、沸腾。一种剧烈的汽化，指液体温度升高到一定程度时，液体的汽化将不仅仅出现在表面，它的现象是液体内部或容器壁出现大量气泡，这些气泡又升到液体表面并破裂。液体沸腾时，液体种类不变和外界压强不变时，温度不再改变。（从气泡的动力学分析可知）液体沸腾的条件是液体的饱和气压等于外界压强。（如在1标准大气压下，水在100沸腾，就是因为在100时水的饱和气压时760cmHg。）沸点，液体沸腾时的温度。同一外界气压下，不同液体的沸点不同；同一种液体，在不同的外界气压下，沸点不同（压强升高，沸点增大）。c、液化。气体凝结成液体的现象。对饱和气，体积减小或温度降低时可实现液化；对非饱和气，则须先使它变成饱和气，然后液化。常用的液化方法：保持温度不变，通过增大压强来减小气体的体积；保持体积不变，降低温度。【例题10】有一体积为22.4L的密闭容器，充有温度T1 、压强3atm的空气和饱和水汽，并有少量的水。今保持温度T1不变，将体积加倍、压强变为2atm ，这时容器底部的水恰好消失。将空气、饱和水汽都看成理想气体，试问：（1）T1的值是多少？（2）若保持温度T1不变，体积增为原来的4倍，容器内的压强又是多少？（3）容器中水和空气的摩尔数各为多少？【解说】容器中的气体分水汽和空气两部分。容器中压强与空气压强、水汽压强的关系服从道尔顿分压定律。对水汽而言，第二过程已不再饱和。（1）在T1 、3atm状态，3 = P1 + PW （P1为空气压强）在T1 、2atm状态，2 = P2 + PW （P2为空气压强）而对空气，P1V = P22V 解以上三式得 P1 = 2atm ，P2 = 1atm ，PW = 1atm ，可得T1 = 100 = 373K（2）此过程的空气和水汽质量都不再改变，故可整体用玻-马定律：22V = P4V （这里忽略了“少量的”水所占据的体积）（3）在一过程的末态用克拉珀龙方程即可。【答案】（1）373K ；（2）1atm ；（3）均为1.46mol 。【例题11】如图6-15所示，在一个横截面积为S的封闭容器中，有一质量M的活塞把容器隔成、两室，室中为饱和水蒸气，室中有质量为m的氮气，活塞可以在容器中无摩擦地滑动。开始时，容器被水平地放置在地面上，活塞处于平衡，、两室的温度均为T0 = 373K，压强为P0 。现将整个容器缓慢地转到竖直位置，两室的温度仍为T0 ，但室中有少量水蒸气液化成水。已知水的汽化热为L ，水蒸气和氮气的摩尔质量分别为1和2 ，试求在整个过程中，室内系统与外界交换的热量。【解说】容器水平放置时，设水蒸气的体积为V1 ，氮气的体积为V2 ；直立时，设有体积为V的水蒸气液化成水。直立后水的饱和气在同温度下压强不变，故氮气的压强 P = P0在直立过程，对氮气用玻-马定律 P0V2 = P（V2 + V）结合以上两式可得V = V2 为解决V2 ，对初态的氮气用克拉珀龙方程 P0V2 = RT0 这样，V = 所以，水蒸汽液化的质量（用克拉珀龙方程）为 m = V = 这部分水蒸气液化应放出热量 Q =mL = 【答案】向外界放热。思考解本题时，为什么没有考虑活塞对室做的功？答注意汽化热L的物理意义它其中已经包含了气体膨胀（汽化）或收缩（液化）所引起的做功因素，若再算做功，就属于重复计量了。*再思考中氮气与“外界”交换的热量是多少？*答氮气没有相变，就可直接用热力学第一定律。E = 0 ，W = RT0ln = RT0ln（1 +），所以 Q =E W = RT0ln（1 +），吸热。2、湿度与露点a、空气的湿度。表示空气干湿程度的物理量，有两种定义方式。绝对湿度：空气中含有水蒸气的压强；相对湿度B ：空气中含有水蒸气的压强跟该温度下水的饱和蒸气压的比值，即 B = 100%（相对湿度反映了空气中水蒸气离开饱和的程度，人体感知的正是相对湿度而非绝对湿度，以B值为6070%比较适宜。在绝对湿度一定的情况下，气温升高，B值减小因此，夏天尽管绝对湿度较大，但白天仍感到空气比晚上干燥）。b、露点：使空气中的水蒸气刚好达到饱和的温度。露点的高低与空气中含有水蒸气的压强（即绝对湿度）密切相关，根据克拉珀龙方程，也就是与空气中水蒸气的量有关：夏天，空气中水蒸气的量大，绝对湿度大（水蒸气的压强大），对应露点高；反之，冬天的露点低。3、固液相变，分熔解和凝固。a、熔解。物质从故态变成液态。晶体有一定的熔解温度熔点（严格地说，只有晶体才称得上是固体），非晶体则没有。大多数物质熔解时体积会膨胀，熔点会随压强的增大而升高，但也有少数物质例外（如水、灰铸铁、锑、铋等，规律正好相反）。（压强对熔点的影响比较微弱，如冰的熔点是每增加一个大气压熔点降低0.0075。）熔解热：单位质量的晶体在溶解时所吸收的热量。从微观角度看，熔解热用于破坏晶体的空间点阵，并最终转化为分子势能的增加，也就是内能的增加，至于体积改变所引起的做功，一般可以忽略不计。b、凝固。熔解的逆过程，熔解的规律逆过来都适用与凝固。4、固气相变，分升华和凝华。a、升华。物质从固态直接变为气态的过程。在常温常压下，碘化钾、樟脑、硫磷、干冰等都有显著的升华现象。升华热：单位质量的物质在升华时所吸收的热量。（从微观角度不难解释）升华热等于同种物质的汽化热和熔解热之和。b、凝华。升华的逆过程。如打霜就是地面附近的水蒸气遇冷（0以下）凝华的结果。凝华热等于升华热。5、三相点和三相图亦称“三态点”。一般指各种稳定的纯物质处于固态、液态、气态三个相（态）平