关于对过程能力指数西格玛判定水平的讨论.doc

精品论文关于对过程能力指数西格玛判定水平的讨论孔建新 1 孔璐 2 何光伟 31 云南驰宏公司会泽技术监督处统计科研小组 云南会泽者海镇（654211）e-mail：2 广东省中山火炬开发区职业技术学院中山市（528437）e-mail：3 广东药学院中山校区中山市（528458）e-mail：摘 要：通过对前期过程能力指数公式的研究，统一了单侧与双侧过程能力指数的公式与计算方法。但是单侧过程能力指数计算结果偏低的客观现实亟待解决。在对西格玛重新认识的 基础上，本文在对比双侧与单侧规范产品不同质量特征的差异中，假设了在同分布的条件下， 在同一西格玛水平上，从不合格率的差异中找到依据，以此来调整单侧规范过程能力指数， 使单侧与双侧过程能力指数的西格玛判定水平保持一致。 关键词：过程能力指数，西格玛水平，质量特征，判定，讨论中图分枑号：o213.11.引言改进单侧规范过程能力指数计算公式的研究1从双侧规范过程能力指数计算公式的 推演统一了单侧与双侧过程能力指数的公式与计算方法。进而在单侧规范过程能力指数新 公式应用与剖析2中解决了产品质量指标高低与过程能力大小相互矛盾的问题。由于单侧 过程能力指数计算结果偏低的客观现实造成与双侧规范过程能力指数在西格玛水平的判定 中出现不一致的现象。基于这样的问题从关于对西格玛重新认识的初步讨论3提出的对 于不同的统计研究对象应该有对应的离散程度的变异指标来进行统计分析与判定来思考。本 文以前期研究的若干成果中与此问题相关的话题为基础，以单侧规范产品质量指标分布的状 况与质量要求相关的质量特征来分析合格率与西格玛水平的判定准则，从而寻求解决问题的 方法。目的是：使单侧规范过程能力指数（以下简称：单指）与双侧规范过程能力指数（以 下简称：双指）西格玛判定水平相一致。（注：本文将随机变量与目标值离散程度的变异指标统称为“目标差2”。其产品指的 是实物产品，其质量指标仅指生产过程中需要对个别的、独立的半成品和零部件，以及由以 上组装的产成品进行检验、测量得到的可以用数量描述的标志值。）2. 单侧规范产品的质量特征 “质量特征”一词在质量管理的理论与实践中频频出现，但是却没有查到明确的定义。 从词典中查到 “特征”的解释是：可以作为事物特点的征象、标志等。 而对“质量”解释有多种，物理学中的质量、工程术语中的质量、.地理学中的质量、iso 质量体系中的质量等。本文仅指实物产品的质量，2000 版 iso9000 族标准给出的定义是：“一组固有特性满足要求的程度4。” 针对本文要讨论的对象结合以上给出的解释和定义，对实物产品“质量特征”的概念给- 2 -出如下注释：质量特征：本文指的是产品固有的质量标志值，根据标准对其质量的规定要求，从产品 的一组质量标志值数列所显示出的位置特征值和标志变异指标以综合反映其特性、征象和一 般分布规律的统称。以上注释概括了不同产品各自有不同的质量标志值，不同的质量要求。从统计要求计算 出的位置特征值：平均值、众数（峰值）、中位数等，以及标志变异指标：平均差、全距、 西格玛3等。根据统计研究对象的需要，综合以上特征值与指标来反映不同产品的主要特性、 征象及分布的一般规律性。根据以上质量特征的概念，社会的实物产品按其不同的质量特征可以分为两大类： 一类为：双侧规范（以下简称：双规）。 另一类为：单侧规范（以下简称：单规），它又可分为 “规范下限”和“规范上限”两种。 为了便于问题的讨论，有必要先来区别一下两类规范产品的不同质量特征。以对比的方法来表明单规产品质量特征的主要特性、征象和分布的规律性，以显示与双规的差异。 在双规的产品中质量要求的标准规定值称为：“标准值”“目标值”“最好水平值”，三值等同（以下统称：目标值）。它是一个事先确定的值。质量指标围绕目标值波动，呈正 态分布。质量要求一般地说，分布中心（平均值）应与目标值重合，合格值分布区间均落入 规范上下限以内，标准差3越小越好，即：标准差越小，落入规范限内的概率越大，合格率 也越高，需要同时规范上下限，在规范限内区间距离相对很小。众数等于目标值的可能性相 对很大。但是也还会有这样的两种情况，一是在正态分布的条件下，平均值可能不等于目标 值，出现偏移。二是平均值不等于众数，呈现出偏斜分布。在单侧规范产品中，质量要求与双侧规范产品不同，标准规定是在一个不大于或不小于 质量要求规定的值域之内。标准规定的“标准值”是产品质量的最低水平值。在相对于规范 上限值或下限值的另一侧的端点上是质量的“目标值”或“最好水平值”，二值等同（以下 也统称：目标值）。如：学生的成绩，标准规定 60 分及格，这是最低的水平要求，100 分 是“目标值”或“最好水平值”。质量指标的位置特征值偏离规范限越远越好（向目标值方 向），这就决定了质量特性值分布峰值的众数也偏离规范限越远越好。在规范限内区间距离 相对很大。众数是一个不确定的值，它离目标值越近越好。众数等于目标值的可能性微乎其 微，当众数等于目标值时，其分布正好是正态分布的一半。若众数落入的位置靠近规范限，峰值差3小，说明它稳定地集众在规范限附近，不合格 品出现的概率就大；峰值差大，说明它分散在规范限附近，一方面不合格品出现的概率加大， 另一方面也有一部分指标向目标值方向离散，但是总体表现出质量状况还是不理想。若众数落入的位置靠近最好水平值，即使峰值差大一点，分布区间落入规范限内的概率 依然很大，总体表现出质量状况比较理想。所以用峰值差大小来判断生产过程是否稳定同样 不成为主要依据，而主要的是看众数落在规范限内的什么位置。单规与双规的区别归纳起来主要有如下几点： 一是质量要求的标准不同，双规产品的质量标准要求值是目标值，规范限内区间的距离相对很小；而单规产品的质量标准要求的规范值是质量的最低要求，一般没有规定具体的目 标值。规范限内区间距离相对很大。二是目标值所处的位置不同，双规产品的目标值，位于规范区间的中心点；而单规产品 的目标值位于规范值的另一端点上。三是分布的规律不同，双规产品的分布规律呈正态型，而单规产品的分布规律一般呈偏斜型。 四是质量特性值围绕某一点波动的要求不同，双规产品要求围绕目标值波动，且目标值是可以事先确定的。单侧规范产品质量围绕众数波动，众数是无法事先确定。 五是对西格玛的要求不同，当双规产品的分布中心等于或者接近目标值时，标准差（等同目标差）越小落入规范限内的概率越大，则合格率也越高。在单规产品的分布图形中，众 数落在规范限内的什么位置对应峰值差的要求不同。3. 质量特征对过程能力指数影响的讨论以上列举了单规与双规产品质量特征的诸多不同点，由此展开讨论。3.1 从目标值所处的位置来分析双规的目标值一般来说处在上下规范限的中心位置，从生产实际来看规范限与目标值的 距离相对较近，由于随机变量围绕目标值波动，随机变量与标准值（目标值）离散程度的变 异指标：标准差（目标差）相对很小，其过程能力指数的西格玛水平的一般判定标准见表 1 所列 4 。表 1 k 西格玛水平的不合格品率 p 对应过程能力指数 cp 值k不合格品率 p说明cp10.3173231.71021水平的合格品率为 68102cp0.3320.0455004.551022水平的合格品率为 95.4102cp0.6730.02269960.02272.71033水平的合格品率为 99.73102cp1.0040.04633420.046363.3ppm4水平的合格品率为 99.994%cp1.3350.06573300.573ppm5水平的合格品率为 99.9999%cp1.6760.081973160.002ppm6水平的合格品率为 100%cp2.00单规产品的目标值位于规范值的另外一端点，两端点的距离较远。计算出的目标差相对很大。 由于两种规范产品目标值所处的位置不同，且客观上规范限与目标值的距离大小相差较大，所以两种规范产品质量指标随机变量与目标值的变异指标：目标差值也相差甚远。即： 单规比双规目标差要大得多。3.2 从新指数公式和不同规范区间分析问题的根源双指新公式包括有三个数学表达式：（一式可省略） 一式：cp =（tutl） 6m；二式：cp =（mtl） 3m； 三式：cp =（tu m） 3m。 单指与双指公式的二式和三式完全一致： 当单规为下限时，其公式为二式：cp =（mtl） 3m； 当单规为上限时，其公式为三式：cp =（tu m） 3m。以上公式不论单指还是双指不但统一了它们的数学表达式而且统一了它们数学表达式 的本质内涵。即：质量指标随机变量都是围绕目标值为中心来进行计算表达的。分子为规范 限与目标值之差的绝对值 mtl 和 tu m。分母是 3 倍的目标差是随机变量关于目标值离差- 8 -平方和平均的平方根。新公式虽然解决了原公式存在单指与双指统计内涵不一致和单指计算结果与生产实际 相互矛盾的两大问题，但是单指计算结果偏低而使其与双指的评价标准相差甚远。追究其问题的根源可根据新公式的分子和分母以及两类产品不同的质量特征等因素来 分析：从公式的分子来看，由于两类产品不同的质量特征决定了双规上下限（tutl）之差的 距离相对很小，其目标值与上限（tu m）和目标值与下限（mtl）之差又缩小二分之一。 同等含义单规目标值与上限（tu m）和目标值与下限（mtl）之差的距离相对大得多。从分母方面来看，由以上原因造成双规目标差 m相对很小。单规目标差 m相对很大。 就以上比较分析这仅仅是问题一个方面的一般表征，还不足以道出其问题的全部。因为 双指分子小，分母也相应小；单指分子大，分母也相应大。计算结果应该对应一致。从理论上看是这样的，但是实践却不是这样。还要综合其分布作进一步的分析。3.3 从分布与西格玛水平分析两类产品不同特征的另一方面从分布分析两类产品的西格玛判定水平。 假设有一单规（规范上限）与另一双规产品质量指标均服从正态分布，图 1 所示。单规目标值双规下限值平均值=众数=双规目标值单规与双规上限值图 1 正态分布 单规与双规西格玛水平差异示意图从图 1 所示可以看到单规与双规产品质量指标的西格玛水平与合格率是有差异的。 具体表现在以下两点： 分布图形中单规众数与目标值区间是产品的卓越质量水平，不存在不合格品。 双规众数等于目标值，与单规目标值同方向的是双规下限值，存在不合格品的可能。 由此可以得出结论：单规与双规产品质量指标的西格玛水平与合格率的判定是不同的。表 2 所列是公认的双规标准评价。表 2 双规产品质量指标西格玛水平与合格率和不合格率的对应关系规范界限合格品率%不合格品率 （ppm）168.27317300295.4545500399.732700499.993763599.9999430.57699.99999980.002从以上比较的两类产品的不同质量特征，以图 1 给定的条件对单规（规范上限）产品质量指标的西格玛水平与合格率进行推论： 在正态分布的条件下:目标值 m 与众数 mo 区间的概率：p(mxmo)0.5；众数 mo 与众数 mo 加 1 西格玛区间的概率：p(moxmo) 0.34135； 众数 mo 与众数 mo 加 2 西格玛区间的概率：p(moxmo2) 0.47725； 众数 mo 与众数 mo 加 3 西格玛区间的概率依次下推；目标值 m 与众数 mo 加 1 西格玛区间的概率：p(moxmo) p(mxmo) p(moxmo)0.50.341350.84135； 目标值 m 与众数 mo 加 2 西格玛区间的概率：p(moxmo2) p(mxmo) p(moxmo2)0.50.477250.97725； 目标值 m 与众数 mo 加 3 西格玛区间的概率依次下推。 通过以上推算得出单规产品质量指标的 1 西格玛水平为：合格率：84.135%， 不合格率：15.865%，表 3 具体列出单规产品质量指标的各等级西格玛水平对应的关系。表 3 单规产品质量指标西格玛水平与合格率和不合格率的对应关系西格玛水平z0指标值落在规范限内的合格率%不合格（缺陷）率ppm184.135158650297.72522750399.8651350499.9968531.5599.99997150.285699.9999999150.00085以上对比分析从理论上得出如下结论：表 2 与表 3 相比：在同分布和同等条件下，同一级别的西格玛水平单规产品质量的不合 格率是双规产品质量的不合格率的一半。上述结论对单指偏低问题进行调整使之与双指基本一致找到了理论的依据。目的是使单 指与双指的西格玛水平的判定统一为一致。表 3 是为了作比较以拟出正态分布来分析说明问题。在实践中单规产品质量指标服从的 是单峰分布，且众数峰值是无法确定的，它可能在规范区间的任意一点，当众数峰值等于目 标值时，其分布正好是正态分布的一半。4. 单规过程能力指数调整的依据通过以上对比分析，结合前期单侧规范过程能力指数新公式应用与剖析2的研究结 果来讨论如何调整单指，使其计算结果接近表 1 的判定标准。从表 4 统计表中清楚表明：年度各月杂质元素指标所对应的众数（分布峰值）在规范限内的不同位置而反映了不同的质量状况。表中显示众数与目标值越近所对应的目标差越小，过程能力指数越大，质量状况越稳定，反映出的质量越好。表 4 某年度某冶金产品杂质元素含量频数分布统计表指标值检验批数合计ppm1 月2 月3 月4 月5 月6 月7 月8 月9 月10 月11 月12 月批数32000000000024633000000000011234000000000032535000000000051217360000000002523303701000000022223483805030000162334723931002000014334295406250401023144439138418300700611792930137421141593577102117221584319329135292218212722199441218211586233316211992014525163919227253622181972554635144630411637132726114300472020593840131921242863291482413412851131818272613263492311252731717142328012075012131626241476202100159合计198249261221225841681732092472672812583根据表 4 统计表中的数据计算出年度各月对应的平均值、目标差、过程能力指数，并将其按指数高低排序，见表 5 。表 5 单侧规范上限产品质量指标与目标差对应过程能力指数按高低排序统计表月份平均值目标差过程能力指数月份平均值目标差过程能力指数12 月39.6948.27940.72479 月45.81314.10570.425411 月40.7909.29350.64567 月45.86914.04250.42732 月43.59012.01670.49934 月46.26714.53630.412810 月45.18213.61320.44073 月46.58214.70010.40828 月45.48013.65940.43936 月46.77414.96070.40111 月45.68713.95700.42995 月47.18215.29010.3924从各月来分析，5 月份产品虽然都合格，但是质量总体并不理想，其过程能力指数仅达到 0.3924，显然与西格玛的判定水平不相符合。再看 12 月份，产品整体质量是为年度最好， 众数接近目标值，且本月有达到目标值的批数，而没有一批在最低水平的合格限上。其西格 玛的判定水平应在 4以上。其过程能力指数也仅为 0.7247。所以需要进行调整，根据表 2与表 3 的对比与分析，在同等分布条件下，西格玛判定水平与产品不合格率单规比双规低一倍。由此结合实际应将单指乘以 2 才能与双指的西格玛判定的水平同等相一致。调整结果见 表 6。表 6 单侧规范上限产品质量指标过程能力指数调整统计表月份平均值目标差过程能力指数月份平均值目标差过程能力指数12 月39.6948.27941.44949 月45.81314.10570.850811 月40.7909.29351.29127 月45.86914.04250.85462 月43.59012.01670.99864 月46.26714.53630.825610 月45.18213.61320.88143 月46.58214.70010.81648 月45.48013.65940.87866 月46.77414.96070.80221 月45.68713.95700.85985 月47.18215.29010.7848表 6 显示：过程能力指数基本与表 1 对应一致。5. 单规过程能力指数调整方案的讨论通过以上对单规与双规质量特征的对比分析，找出了单指计算结果偏低的根源，从同分 布与不同规范（控制）要求，表 2 与表 3 列出了单规与双规西格玛水平与不合格率的不同。 由此得出结论：在同一西格玛水平上，不合格率双规是单规的一倍。从而找出调整单指的依 据。即：单指计算结果乘以 2，使之与双指的西格玛判定水平相一致。以什么方法调整，就此提出两个方案进行讨论。 一是从单指的计算公式进行改进，即： 当单规为下限时，其公式为：cp =2（mtl） 3m； 当单规为上限时，其公式为：cp =2（tu m） 3m。 或当单规为下限时，其公式为：cp =（mtl） 1.5m； 当单规为上限时，其公式为：cp =（tu m） 1.5m。 这样改进的优点是：把双指与单指的计算公式区别开来。 不足之点是：双指与单指的计算公式已经统一，若以不同的计算公式区别开来有违统计内涵的统一性与一致性。 二是以单指的计算结果乘以 2 即可。 其优点是直接、简单。 缺点是：缺乏表达的逻辑关系。以上思考希望得到同行学者的建议。同时有待在实际的应用中由实践者灵活掌握。6.结论本文从单规与双规不同质量特征的差异为切入点，在进行对比分析的基础上，以同分布 与不同规范（控制）要求来论证说明双规与单规的西格玛判定水平与不合格率的关系是：在 同一西格玛水平上，不合格率双规是单规的一倍。从而寻求到调整单指的依据，进而解决了 单指计算结果偏低的问题，目的是：使单指与双指的西格玛判定水平统一并保持一致。参考文献1 孔璐 何光伟 孔建新改进单侧规范过程能力指数计算公式的研究ol，2008.05.082 孔建新 李飞荣 马菊芬单侧规范过程能力指数新公式应用与剖析ol，2008.08.133 孔建新 孔璐 何光伟关于对西格玛重新认识的初步讨论ol，2008.08.274 张公绪 孙静 主编 质量工程师手册m 北京海淀区紫竹院 17 号 企业管理出版社 2002.12on the process capability index sigma determine the level of discussionkongjianxin1konglu2 heguangwei31 yunnan chi-hong will chak technical supervision department statistics research groupzhe hai, hui zhe yun nan 654211 email: 2 zhongshan torch development zone in guangdong province vocational and technical college.zhongshan city, 528437 e-mail：3 guangdong coll