曲线积分与曲面积分习题课.ppt_第1页
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- 1 -,习题课10-1,一 对弧长的曲线积分的计算,例1 计算下列对弧长的曲线积分,（1）,其中,圆周,解,（2）,其中,解,- 3 -,(3),解,(4),解,- 4 -,(5),解,其中,原式,(6),解,由对称性,- 5 -,例2 求椭圆周,的质量，已知线密度为,解,由对称性总质量为椭圆周的第一象限部分,质量的4倍，,- 6 -,例3,求均匀摆线,的质心。,解,不妨设,- 7 -,二 对坐标的曲线积分的计算,的起点,的终点,的起点,的终点,- 8 -,例4,计算曲线积分,（1）,其中L逆时针圆周,解,（2）,从原点,沿曲线,到点,解,- 9 -,（3）,其中,为球面的一部分,的围线，其方向从,正向看去是逆时针的。,解,- 10 -,同理,- 11 -,（4）,其中L为由点,沿曲线,到点,一段。,解,（5）,其中L,逆时针方向。,解,原式,- 12 -,例5,椭圆,上点,处作用,力,其方向为指向椭圆中心，,其模为此点到原点的距,离，求当质点从,沿椭圆周第一象限的弧移动到,所做的功。,解,由于,的方向自点,指向原点，,所以,由于,所以,- 13 -,三 格林公式及其应用,设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,设D 是单连通域 ,在D 内具有一,阶连续偏导数,(2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(3) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(1) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,- 14 -,(4),在 D 内是某一函数,的全微分,即,例6,计算下列曲线积分,（1）,其中,为以,为顶点的三角形正向边界。,解,原式,- 15 -,（2）,其中L为以,为顶点的正方形的正向边界。,解,逆时针,- 16 -,例7,计算下列曲线积分,（1）,其中L为,在第一象限的半圆弧正向。,解法一,以路径无关，,解法二,分项组合法,- 17 -,（2）,其中L为从原点沿曲线,到点,解法一,作辅助线,原式,- 18 -,（2）,其中L为从原点沿曲线,到点,解法二,分项组合法,- 19 -,（2）,其中,逆时针方向。,解,当,时，,当,时，,逆时针方向,- 20 -,例8,设,一阶导数连续，且,在任意,一条包围原点的正向闭曲线L上，曲线积分,为定数，,（1） 证明在任一个不含原点的单连通区域上曲线积,分,与路径无关；,（2）求函数,解,（1）,设,是不含原点的,单连通域内的任意两条以A起点以B为终点的有向曲线，,作以B起点以A为终点的有向曲线，使,包围原点,- 21
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