机械优化设计总复习(3).ppt

1,机械优化设计总复习,2,第一章 机械优化设计的基本概念和理论,机械优化设计的定义：,机械优化设计 就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。,3,一 设计变量 在优化设计过程中，要优化选择的设计参数。 设计变量必须是独立变量，即：在一个优化设计问题中，任意两个设计变量之间没有函数关系。 二 设计空间 在一个优化设计问题中，所有可能的设计方案构成了一个向量集合。可以证明，这个向量集合是一个向量空间，并且是一个欧氏空间。 一个优化设计问题中，设计变量的个数，就是它的设计空间的维数。 三 目标函数 优化设计中要优化的某个或某几个设计指标，这些指标是设计变量的函数，称为目标函数。,4,四 设计约束 优化设计中设计变量必须满足的条件，这些条件是设计变量的函数。,约束条件的分类 （1）根据约束的性质分 边界约束 直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即,性能约束 由结构的某种性能或设计要求，推导出来的约束条件。,i 1,2, ，n,5,u=1,2, ，m,v = 1，2， ，p n,（2）根据约束条件的形式分 不等式约束,一个 n 维的优化设计问题中，等式约束的个数必须少于 n 。,显式约束 隐式约束,等式约束,6,五 可行域 可行域 : 在设计空间中，满足所有约束条件的所构成的空间 。,7,六 优化设计的数学模型 （一）优化设计的数学模型,8,（ 二）约束优化设计的最优解 约束优化设计的最优解为使,的 X* 、f (X*) 。,9, 2-1 目标函数的基本性质,一 函数的等值面（线） 函数的等值面（线）是用来描述、研究函数的整体性质的。 二 函数的最速下降方向 梯度 X1 点的最速下降方向为 局部性质,第二章 优化设计的数学基础,10,用Matlab可画出该函数的等直线。,11,* 用图解法求解要求掌握,12,目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。 如不考虑约束，本例的无约束最优解是：,，,约束方程所围成的可行域是D。,图1-9,13,三 函数的近似表达式 f (X) 的近似表达式为,H(X (k) 为Hessian 矩阵,14,2-2 函数的凸性 1. 凸集 * 2. 凸函数 *如果HESSEN矩阵正定，为凸函数； 二次函数,15,几个常用的梯度公式：,16,2-3 优化问题的极值条件,*一、无约束优化问题的极值条件,1.F(x)在 处取得极值，其必要条件是:,即在极值点处函数的梯度为n维零向量。,17,2. 处取得极值充分条件,海色（Hessian）矩阵 正定，即各阶主子式均大于零，则X*为极小点。,海色（Hessian）矩阵 负定，即各阶主子式负、正相间，则X*为极大点。,18,1、约束优化设计的最优点在可行域 D 中 最优点是一个内点，其最优解条件与无约束优化设计的最优解条件相同；,*二、约束优化问题的极值条件,19,2、约束优化设计的最优点在可行域 D 的边界上 设 X (k) 点有适时约束,*库恩塔克条件 （K-T条件）：,20,K-T条件是多元函数取得约束极值的必要条件,以用来作为约束极值的判断条件，又可以来直接求解较简单的约束优化问题。,对于目标函数和约束函数都是凸函数的情况， 符合K-T条件的点一定是全局最优点。这种情况K-T条件即为多元函数取得约束极值的充分必要条件。,21,第三章 一维搜索的最优化方法,*黄金分割法 1、在寻找一个区间 Xa , Xb ，使函数 f (X)在该区间的极小点 X* Xa , Xb 。 2、用黄金分割法在区间 Xa , Xb 中寻找 X* 。 Xa ，X1， X2， Xb 如何消去子区间？ f (X1) f (X2) ，消去Xa， X1，保留X1， Xb,22,第三章 一维搜索的最优化方法,确定最优解所在区间的进退法 一维搜索的插值类方法,23,*4-1 梯度法,负梯度方向 是函数最速下降方向。 梯度法就是以负梯度方向作为一维搜索的方向，即 k=1,2, ,n,第 四 章 无约束最优化方法,24,*在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。,图4-2 最速下降法的搜索路径,25,4-2 牛顿法 牛顿法的迭代公式 阻尼牛顿法的迭代公式 牛顿方向,26,4-3 变尺度法 ( DFP 法 ) H (0) = I ， 变尺度法本质上是共轭方向法。,27,4-4 共轭方向法 共轭方向 定义： 设 A 为 n n 阶实对称正定矩阵，有一组非零的 n 维向量 d1、 d2 、 dn，若满足 diT A dj 则称向量系 di ( i=1,2,n ) 对于矩阵 A 共轭。,28,*二 鲍威尔 (Powell)法 鲍威尔法原理，如何构成共轭方向？能具体运用！,29,*4-5 单纯形方法,单纯形思想、原理； 四种操作：反射、扩张、收缩和缩边。,30,第五章 约束优化设计,5-1 关于设计约束的若干概念 可行域 所有满足全部约束条件的点的集合。,31,可行点 可行域中的点，即满足所有约束条件的点。 边界点 在可行域边界上的点。 若有点 Xk 使得 则 Xk 为一个边界点。 内点 除边界点以外的所有可行点。 若有点 Xk 满足 则 Xk 为一个内点。,32,非可行域 可行域以外的区域。 非可行点 非可行域中的点，即不满足所有约束条件的点。 适时约束 若有点 X k 使某个不等式约束 gu(X) 0 的等号 成立，即 则称 g i(X) 0 为点 X k 的一个适时约束。 等式约束始终是适时约束。,33,* 可行下降方向 可行方向 定义 设点 ，若对于方向 S ，存在任意小正数 0 ，使得 则称 S 为 X (k) 点的一个可行方向。 X (k) 为可行域中的一个内点， X (k) 的任何方向均为可行方向。 X (k) 为可行域中的一个边界点，设 X (k) 在约束面 gi (X ) = 0 上。,34,2 可行下降方向 定义 设 S 是 的一个可行方向，即 若对于上式中的 X (k) 、 X (k+1) 存在 则称 d为 X (k) 点的一个可行下降方向。 X (k) 为可行域中的一个内点,35,X (k) 点是可行域中若干约束面的交点 设 X (k) 点在约束面 gj (X ) = 0 ，j=1,2,J 若 d 是 X (k) 点的一个可行下降方向，则应有 可行： 下降：,36,* 5-2 约束优化设计的复合形法 对约束优化问题 1 确定初始复合形 选择 （n+1K2n）顶点，这 k 个顶点必须是可行点。 2 确定搜索方向 计算 k 个顶点的函数值，设 记 最坏点 X (1) 为 X (H) 次坏点 X (2) 为 X (SH) 最好点 X (k) 为 X (L),37,求出 X (2)、 X (3)、 X (k-1)、 X (k) 的点集的中心(几何中心) X (S) 以 X (H) 指向 X (S) 的方向作为寻优的方向，沿此方向寻找一个较好的点 X (R) 。 若 f (X (R) ) f (X (H) ) ，则以 X (R) 代替 X (H) ，构成新的复合形。,38,1 内点法构造惩罚项的方法 对于约束优化问题 内点法的惩罚函数为,* 5-3 惩罚函数法,或,39,2 内点法初始点的选择 内点法要求初始点 X(0) 是一个内点。 3 惩罚因子 r(k) 的选择,40,二 外点 惩罚函数法,外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。,外点惩罚函数的形式为：,r是惩罚因子 ,外点法的迭代过程在可行域之外进行，惩罚项的