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2.2 微分方程式的 建立与求解,主要内容,物理系统的模型 微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法,复习求解系统微分方程的经典法,一物理系统的模型,许多实际系统可以用线性系统来模拟。 若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。,二微分方程的列写,根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。,元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。,网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。,三n 阶线性时不变系统的描述,一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述,若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。,阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。,四求解系统微分方程的经典法,分析系统的方法：列写方程，求解方程。,求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。,2-2 系统微分方程及其经典解,任何LTI连续时间系统，n阶一元常系数微分方程一般式为：,全解=齐次解 + 特解,通解一般式为：,特征方程为：,经典法求解该方程：,齐次解rn(t)是齐次方程的通解：,该一元n次方程的n个特征根为：,自然频率 固有频率,讨论通解的形式：,1 i为互异实根：,2 1有k重根：,其中1为k重根， j为单根,特解的形式：根据激励查表2-1得rf(t),全解的形式：,求系数Ci,cj,例1：求齐次解：,解：,该微分方程的特征方程为：,解得特征根：,齐次解为：,例3：求齐次解：,解：,二重根,例：方程为：,若激励为：,求其特解 rf(t).,查表2-1得对应的特征解为：,代入原微分方程得：,等式两边同次幂系数相等：,例5：方程为：,求： 当,时的全解,解：,特征方程为,所以齐次解为：,与例相同：,所以全解,其一阶导为：,t=0时 初值代入：,全解:,1 齐次解：其形式与激励e(t)无关，仅依赖于系统本身特征自由响应或固有响应，系数ci，cj与激励有关,2 特解的形式：由激励信号决定强迫响应,齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根情况处理方法。,特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式代入原方程，比较系数 定出特解。,经典法的例题,全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。,我们
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