人教版八年级下册第十八章平行四边形 第15讲_正方形 讲义（无答案）

初中八年级数学下册第15讲：正方形一：知识点讲解知识点一：正方形的定义 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形的定义有三个条件：有一组邻边相等；有一个角是直角；是平行四边形，这三个条件必须同时具备，缺一不可 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的菱形、特殊的矩形，它们的关系如图所示例1：下列命题错误的是（ ）A.有一组邻边相等的平行四边形是正方形B.有一组邻边相等的矩形是正方形C.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形D.有一个角是直角的菱形是正方形知识点二：正方形的性质 性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 边：对边平行，四条边都相等 角：四个角都是直角 对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴。 正方形的面积=边长的平方 正方形的面积=对角线乘积的一半例2：如下图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，若AO=2，求1) ABD的度数2) BD的长3) 正方形ABCD的面积知识点三：正方形的判定 有一组邻边相等的矩形是正方形（先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形） 有一个角是直角的菱形是正方形（先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形）例3：如下图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC。1) 求证：四边形ABCD是菱形2) 若DAC=EAD+AED，求证：四边形ABCD是正方形二：知识点复习知识点一：正方形的定义1. 已知，在四边形ABCD中，A=B=C=90，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）A.D=90B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD知识点二：正方形的性质2. 正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）A.4个B.6个C.8个D.10个3. 如下图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（ ）A.BE=AFB.DAF=BECC.AFB+BEC=90D.AGBE4. 如下图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是 。知识点三：正方形的判定5. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）A.AC=BD，AB与CD平行且相等B.ADBC，A=CC.AO=BO=CO=DO，ACBDD.AO=CO，BO=DO，AB=BC6. 如下图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别延长OA、OC到点E、F，使AE=CF，依次连接B、F、D、E各点。1) 求证：BAEBCF2) 若ABC=50，则当EBA= 时，四边形BFDE是正方形。7. 如下图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EGFH。求证：四边形EFGH是正方形。三：题型分析题型一：矩形与正方形的综合例1：如下图，已知四边形EFGH是由矩形AB，CD的外角平分线围成的。求证：四边形EFGH是正方形。题型二：利用正方形的性质解决面积问题例2：如下图所示，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设AFC的面积为S，则（ ）A.S=2B.S=2.4C.S=4D.S与BE长度有关题型三：利用正方形的性质证明线段相等问题例3：如下图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作MECD交BC于点E，作MFBC交CD于点F。求证：AM=EF易错点：不能正确理解特殊平行四边形的概念和识别方法例4：给出下列结论：1 有一组对边平行，且两个角是直角的四边形是矩形2 两条对角线相等的四边形是矩形3 两组对边分别相等的四边形是矩形4 有一个角是60的平行四边形是菱形5 有两边相等的平行四边形是菱形6 有一组邻边相等的矩形是正方形7 有三边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形8 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形其中正确的结论有（ ）A.2个B.3个C.5个D.8个四：习题1：选择题1) 四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，有以下结论：AB=BC；DAB=90；BO=DO，AO=CO；四边形ABCD是矩形；四边形ABCD是菱形；四边形ABCD是正方形。下列推论不正确的是（ ）A.由，得B.由，得C.由，得D.由，得2) 如下图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE:EC=2:1，则线段CH的长是（ ）A.3B.4C.5D.63) 给出下列命题：四条边相等的四边形是正方形；两组邻边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。其中错误命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.44) 如下图，在ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MNBC。设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F，当点O运动到AC的中点，且ACB= 时，四边形AECF是正方形（ ）A.45B.60C.85D.905) 如下图，正方形ABCD中，E为AB的中点，FEAB，AF=2AE，FC交BD于O，则DOC的度数为（ ）A.60B.67.5C.75D.546) 如下图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为（ ）A.B.C.D.2：填空题1) 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件下面给出了四组条件：ABAD，且AB=AD；AB=BD，且ABBD；OB=OC，且OBOC；AB=AD，且AC=BD。其中正确的序号是 （写出所有正确的序号）。2) 平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使四边形ABCD为正方形，还需添加的一个条件是 （只需添加一个即可）。3) 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件： ，使其成为正方形（只填一个即可）。4) 如下图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE=1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是 。5) 如下图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边的坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，以此类推，则正方形的顶点的坐标是 。3：解答题1) 如下图，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与点C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFC，连接BG、DE。我们探究如下图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：1 猜想下图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系2 将下图中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如下图和的情形。请你通过观察、测量等方法判断上题中得到的结论是否仍然成立，并选取下图证明你的判断。2) 如下图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG,FH，交点位O1 如图，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；2 将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按下图的方式拼接成一个四边形。若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则下图中阴影部分的面积为 3) 已知：如下图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF。1 求证：BC