人教版八年级上册数学 第11章 三角形复习讲义（无答案）

三角形复习讲义 一、三角形相关概念 1三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形。 要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接 2三角形的表示： 通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，A、B、C分别表示三角形的三个内角。 3三角形中的三种重要线段： 三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段 （1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 注意： 三角形的角平分线是一条线段，可以度量。而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线 三角形有三条角平分线且相交于一点。这一点一定在三角形的内部 三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画。 （2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线 注意： 三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可 （3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高 注意： 三角形的三条高是线段 锐角三角形三条高线的交点在三角形内部，直角三角形的三条高线的交点在直角顶点上，钝角三角形三条高线的交点在三角形外部。画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高 （二）三角形三边关系定理： 三角形两边之和大于第三边。故同时满足ABC三边长a、b、c的不等式有：a+bc，b+ca，c+ab 三角形两边之差小于第三边。故同时满足ABC三边长a、b、c的不等式有：ab-c，ba-c，cb-a 注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理 三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种： （四）三角形的内角： 结论1：三角形的内角和为180 表示： 在ABC中，A+B+C=180 （1）构造平角 可过A点作MNBC(如图) 可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图） （2）构造邻补角，可延长任一边得 邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图） 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余 表示：如图，在直角三角形ABC中，C=90，那么A+B=90（因为A+B+C=180） 注意： 在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在ABC中，C=180（A+B） 在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角如：ABC中，已知A：B：C=2：3：4，求A、B、C的度数 （五）三角形的外角： 1定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角如图，ACD为ABC的一个外角，BCE也是ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等 2性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 如图中，ACD=A+B , ACDA , ACDB. 三角形的一个外角与之相邻的内角互补 3外角个数： 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角 （六）多边形 1.多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。 2.凸多边形的定义：画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。如图： 3.在平面内，各个角都相等，各条边也都相等的多边形叫做正多边形4.填表：（注下表所列的多边形均为正多边形）内角和180360540720900108012601440每一个内角的度数6090108120900/7135140144外角和 360每一个外角的度数120907260360/7454036 n边形的内角和为（n2）180 多边形的外角和为360 多边形的对角线条对角线（7） 多边形的镶嵌 1.镶嵌：用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌 注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠 2.用一种正多边形镶嵌： .用边长相同的正三角形可以镶嵌 .用边长相同的正方形可以镶嵌 用边长相同的正六边形可以镶嵌形状、大小完全相同的任意三角形可以镶嵌形状、大小完全相同的任意四边形可以镶嵌 用边长相同的正五边形、正八边形不能镶嵌 3.镶嵌平面图案需要的什么条件： 拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360度。即：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360。 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60，正四边形的每个内角都是90，正六边形的每个内角都是120，这三种多边形的一个内角的倍数都是360，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌 4.多种正多边形的平面镶嵌几种情况： 正三角形+正方形可以镶嵌（3、2） 正三角形+正六边形可以镶嵌（2、2正六方边形或4、1正六方边形） 正八变形+正方形可以镶嵌（2个正八变形与1个正方形）正三角形+正12边形可以镶嵌（2个正12变形与1个正三角形）正五变形+正三角形+正方形可以镶嵌（2正五变形、1个正三角形和1个正方形）正六边形+正方形+正三角形可以镶嵌（1个正六边形、2个正方形和1个正三角形）（见课件） 例： 典型例题分析： 例1.对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高. 例2.下列说法错误的是( ). A三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D三角形的三条高可能相交于外部一点 例3.下列四个图形中，线段BE是ABC的高的图形是( ) 变式题1：如图3，在ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，则B等于（ ）A25 B30 C45 D60 变式题2：如图4，已知AB=AC=BD，那么1和2之间的关系是（ ） A.1=22 B. 21+2=180 C. 1+32=180 D. 31-2=180 例4.如图7，在ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且= 4，则等于( ) A2 B. 1 C. 3 D. 2.5 例5.如图7，BD=DE=EF=FC，那么，AE是 _ 的中线。 变式题1：如图6，BD=，则BC边上的中线为 _，=_。 例6.如图1，在ABC中，BAC=600，B=450，AD是ABC的一条角平分线，则DAC= 0，ADB= 01题 DCBA变式题1：如图2，在ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则根据图形填空：F2题EDCBABE= = ；BAD= = AFB= =900；DCBA 变式题2：如图在ABC中，ACB=900，CD是边AB上的高。那么图中与A相等的角是（ ） A、 B B、 ACD C、 BCD D、 BDC 变式题3：在ABC中，A=C=ABC， BD是角平分线，求A及BDC的度数（ ) 变式题4：已知，如图，ABCD，AE平分BAC，CE平分ACD，求E的度数变式题5：如图，在ABC中，D,E分别是BC，AD的中点，=4，求._E_D_B_C_A例7.关于三角形的边的叙述正确的是 （ ） A.三边互不相等 B、至少有两边相等 C、任意两边之和一定大于第三边 D、最多有两边相等 例8.已知ABC中，A=200，B=C，那么三角形ABC是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形 例9.下面说法正确的是个数有（） 如果三角形三个内角的比是，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；如果A=B=C，那么ABC是直角三角形；若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；在ABC中，若AB=C，则此三角形是直角三角形。A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 例10.一个多边形中，它的内角最多可以有 个锐角 例11.如图是一副三角尺拼成图案， 则AEB_.B CADE例12.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )A. 3cm, 4cm, 8cm B. 8cm, 7cm, 15cm C. 13cm, 12cm, 20cm D. 5cm, 5cm, 11cm 变式题1.用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成的不同的三角形的个数为 解析：设三角形的边长分别为x、y、z则 其 中x、y、z 都是正整数，那么三边长的可能情况有 再根据三角形的两边之和大于第三边进行验证，可知只有1，3，3；2，2，3符合要求 变式题2.下列长度的三条线段能组成三角形的是 （ ）A、 3，4，8 B、 5，6，11 C、 1，2，3 D、 5，6，10 变式题3.等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为( ) A、13 B、17 C、13或17 D、不能确定 变式题5.ABC中，如果AB=8cm，BC=5cm，那么AC的取值范围是_. 变式题6.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有 种选法，它们分别是 变式题7.一个等腰三角形的两条边长分别为8和5，那么它的周长为 变式题8.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|. 例13.不是利用三角形稳定性的是( ) A.自行车的三角形车架 B、三角形房架 C、照相机的三角架 D、矩形门框的斜拉条 变式题1：下列图形中具有稳定性的有（ ） A 、正方形 B、长方形 C、梯形 D、 直角三角形 变式题2：下列图形中具有稳定性有（ ） A、 2个 B、 3个 C、 4个 D、 5个 变式题3：如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( ) A、三角形的稳定性 B、两点确定一条直线 C、两点之间线段最短 D、垂线段最短 变式题4：.桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的 性； 例14.已知ABC的三个内角的度数之比A：B：C=1：3：5，则B= 0，C= 0 变式题1如图4，1+2+3+4等于多少度； 变式题2.如图，已知点P在ABC内任一点，试说明A与P的大小关系 例15.已知等腰三角形的一个外角是120，则它是_三角形 变式题1.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180，那么与这个外角相邻的内角的度数为( ) A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 变式题2.已知三角形的三个外角的度数比为234，则它的最大内角的度数( ). A. 90 B. 110 C. 100 D. 120 变式题3.如图，下列说法错误的是( ) A、B ACD B、B+ACB =180A C、B+ACB B 变式题3.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ).A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定 变式题4.如图6，若A=10，B=45，C=38，则DFE等于( )A. 120 B. 115 C. 110 D. 105 变式题5.如图7，1=_. 变式题6.如图8，则1=_,2=_,3=_, 变式题7.已知等腰三角形的一个外角为150，则它的底角为_. 变式题8.等腰三角形的底边BC=8 cm，且|ACBC|=2 cm，则腰长AC为( ) A.10 cm或6 cm B.10 cm C.6 cm D.8 cm或6 cm 例16.如图10,在ABC中,D是BC边上一点,1=2,3=4,BAC=63,求DAC的度数. 变式题1：如图的平分线和ABC的外角的平分线交于点D，求的度数 变式题2：如图，1=2=300，3=4，A=800，则 ， 第（变3）题 变式题3：如图,已知BOF=120, 则A+B+C+D+E+F=_（2400） 例17.一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（ ） A 、三角形 B、 四边形 C、 五边形 D、 六边形 变式题1.一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为 （ ） A、 6 B、 7 C、 8 D、 9 变式题2.一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（ ） A、 四边形 B、 五边形 C、 六边形 D、 八边形 变式题3.一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加( ) A. 180 B. 360 C. (n-2)180 D. n180 变式题4.若一个多边形的内角和与外角和相加是1800，则此多边形是( ) A、八边形 B、十边形 C、十二边形 D、十四边形 变式题5.正方形每个内角都是 _，每个外角都是 _。变式题6 .如果一个多边形的每一外角都是24，那么它是_边形。变式题7. 将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和_。变式题8.多边形的一个外角与其内角和的度数总和为600，求此多边形的边数。解析：设多边形的边数为n，一个外角为x 依题意得（n2）180x600 即（n2）180600x（n2）180是180的倍数600x也是180的倍数x60，n5此多边形的边数为5 变式题9.一个多边形的内角和与外角和之比是52，则这个多边形的边数为_。 变式题10.一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520,则原多边形有_条边。 变式题11.已知一个十边形中九个内角的和的度数是12900，那么这个十边形的另一个内角为 度 例17. 已知:过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,p边形有p 条对条线.求(m-p)n.解析：由多边形对角线公式n(n-3)/2可知： p(p-3)/2=p,解得：p=5, n (n-3)/2=0解得：n=3, 由m边形的一个顶点可引m-3条对角线，即 m-3=7 解得：m=10, (m-p)n=(10-5)3=125. 变式题1.多边形的每一个内角都等于150，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 条。 变式题2.六边形共有_条对角线，内角和等于_，每一个内角等于_。 变式题3.已知一个多边形的内角和是1440,求这个多边形的对角线的条数. 例18.如图，CDAF，CDE=BAF，ABBC，BCD=124,DEF=80（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论？并说明理由；（2）试求AFE的度数 变式题1.阅读材料，并填表：在ABC中，有一点P1,当P1,A,B,C没有任何三点在同一条直线上时，可构成三个不重叠的小三角形(如图(1).当ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？_(3)_(2)_(1)B_A_C_P_1_P_1_C_A_B_P_2_P_2_B_A_C_P_1_P_3完成下表ABC内点的个数1231002构成不重叠的小三角形的个数35例19.下列正多边中，能铺满地面的是（）A、正方形 B、 正五边形 C、 等边三角形 D、 正六边形 变式题1.下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（）A、正六边形和正三角形 B、正三角形和正方形 C、正八边形和正方形 D、正五边形和正八边形 变式题2.下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是( ).A. 正六边形和正三角形 B. 正三角形和正方形 C. 正八边形和正方形 D. 正五边形和正八边形 变式题3用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有( )种.A、1 B、2 C、3 D、4 变式题4某装饰公司出售下列形状的地砖：正方形；长方形；正五边形；正六边形.若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有( )种.A、1 B、2 C、3 D、4 变式题5小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是( ) A、正方形 B、正六边形 C、正八边形 D、正十二边形 变式题6用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有_个正三角形和_个正四边形。 变式题7(2)第n个图案中有白色地砖_块.(4n+2）_ 第1个_ 第3个_ 第?2个 变式题8. 试用黑白两种相同的正三角形拼地板,请你设计两种效果图. 变式题9. 下列地板是由正方形、正六边形、正十二边形拼成的,试说明由这三种正多边形能拼地板的理由. 变式题10 一个广场地面的一部分如图所示,地面的中央是一块正六边形的地砖, 周围用正三角形和正方形的大理石地砖拼成,从里往外共12层(不包括中央的正六边形地砖),每一层的外界都围成一个多边形.若中央正六边形地砖的边长是0.5米, 则第12层的外边界所围成的多边形的周长是多少?（39m） 变式题11. 计算用一种正多边形拼成平整、无隙的图案,你能设计出几种方案?画出草图.变式题12. 用一个正方形、一个正五边形、一个正二十边形能否镶嵌成平面图案? 说明理由.（能：90+108+162=360）变式题13. .请你设计在每一个顶点处由四个正多边形拼成的平面图案, 你能设计出多少种不同的方案? 解析：三种不同图案。设四个正多边形的边数为n1,n2,n3,n4且在一个顶点处分别有m,n,q,w个这样得正多边形。则：m(n1-2) 1800/ n1+ n(n2-2) 1800/ n2+ q(n3-2) 1800/ n3+ w(n4-2) 1800/ n4=360整理出符合题意的正整数解： m=n=q=w=1, 四个正四边形或两个正三边形、两个正六边形，或两个正四边形、一个正三边形和一个正六边形。 变式题14.某家庭准备用正三角形和正六边形两种瓷砖结合在一起镶嵌地面，由你帮助设计镶嵌图案，你能设计几种不同的镶嵌方案？（二种方案:四个正三角形和一个正六边形,或二个正三角形和二个正六边形.） 变式题15. .用正多边形镶嵌,设在一个顶点周围有m个正方形、n个正八边形,则m=_,n=_.（1,2） 变式题16.用正三角形和正六边形镶嵌,在每个顶点处有_个正三角形和_ 个正六边形,或在每个顶点处有_个正三角形和_个正六边形。 综合：ABCO 1.如图，在ABC中，B, C的平分线交于点O.(1)若A=500,求BOC的度数.(2)设A=n0（n为已知数），求BOC的度数.2.某零件如图所示，图纸要求A=90，B=32，C=21，当检验员量得BDC=145，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？ABCD3.如图,在ABC中,ADBC,CE是ABC的角平分线,AD、CE交于F点.当BAC=80,B=40时,求ACB、AEC、AFE的度数. 4.如图，在直角三角形ABC中，ACB=90，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求: (1)ABC的面积； (2)CD的长； （3）作出ABC的边AC上的中线BE，并求出ABE的面积； （4）作出BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长。 5.在ABC中，已知ABC=66，ACB=54，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求ABE、ACF和BHC的度数. 6.如图所示，在ABC中，B=C，BAD=40，并且ADE=AED，求CDE的度数。(20) 7.如图：ABCD，直线 L交AB、CD分别于点E、F，点M在EF上，N是直线CD上的一个动点（点N不与F重合） （1）当点N在射线FC上运动时，FMN+ FNM=AEF，说明理由？ （2）当点N在射线FD上运动时，FMN+ FNM与AEF有什么关系？并说明理由。 8.图1-4-27，已知在ABC中，AB=AC，A=40，ABC的平分线BD交AC于D.求：ADB和CDB的度数. 9.已知：如图5130，在ABC中，ACB90，CD为高，CE平分BCD，且ACD：BCD1：2，那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由 10.已知：如图5131，在ABC中有D、E两点，求证：BDDEECABAC。 11.如图18，ABCD，ADBC，A的2倍与C的3倍互补，BE平分ABC，求A，DEB的度数。12.如图19，已知，C=DAE，B=D，那么AB与DF平行吗？为什么？ 13.如图，AD为ABC的中线，BE为ABD的中线 （1）ABE=15，BAD=40，求BED的度数； （2）在BED中作BD边上的高； (3）若ABC的面积为40，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？ 14.阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形。图（一）给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形。请你按照上述方法将图（二）中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个