人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程21.2根与系数的关系

合作探究探究点1 一元二次方程的根与系数的关系情景激疑 求根公式是由一元二次方程的系数a，b，c决定的，两根的和、两根的积分别与系教a，b，c有怎样的关系呢?知识讲解 根与系数的关系(韦达定理):如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-.x1x2=也就是说，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。 注意 两根的和、两根的积与系数的关系都是比的形式，谁与谁的比不要混淆，和有相反数的关系，积没有。典例剖析例1 不解方程,求出2x2+4x=1的两根的和与两根的积.解析 运用根与系数的关系与运用判别式类似，需要先把方程化为一般形式，以便确定a,b，c.答案 将原方程化为一般形式得2x2+4x-1=0，a=2，b=4，c=-1,于是x1+x2=-=-=-2，x1x2=-。类题突破1 设一元二次方程3x2 +2x-m=0的一个根是-2,求方程的另一个根及m的值。 答案 设另一个根为x2，由根与系数的关系可得-2十x2=-，解得x2=.再由两根之积与系数的关系可得-2=，解得m=8.点拨 此类问题也可以用方程根的定义，将x1=-2代入原方程，求出m的值，再求出另一个根。 探究点2(高频考点) 根与系数关系的应用情景激疑 关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，x1+x2与x1x2分别和p，q有怎样的关系?知识讲解 如果方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q。注意 (1)对于二次项系数是 1的一元二次方程，它的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. (2)对于任何二次项系数a1的一元二次方程,都可以通过方程的两边同除以a,化为二次项系数为1的形式x2+px+q=0.典例剖析例2(1)如果x1，x2是方程x2-5x+3=0的两个根，那么x1+x2=_，x1x2=_； (2)以一2，3为根的一元二次方程是_。解析(1)直接利用x1+x2=-p，x1x2=q的关系来求值；(2)由x1+x2=-p可得p=-(x1+x2)，x1x2=q可得q=-1于是分别确定一次项系数p=-(x1+x2)=-（-2+3）=-1，q=x1x2=-23=-6.答案(1)5 3(2)x2-x-6=0点拨注意符号错误，类题突破2小华与小丽在一起做作业时，小华看错了一元二次方程的一次项系数，解得x1=2,x2=3；小丽看错了同一个方程的常数项，解得x1=-6,x2=1，若二次项系数为1.你知道原方程的正确答案是多少吗?答案 由小华解得的两根可知原方程的常数项为23=6，由小丽解得的两根可知原方程的一次项系数为-(-6+1）5，原方程为x2+5x+6=0.解得x1=-2,x2=-3.例3当m为何值时，关于x的一元二次方程x2一(5m2+4m-1)x+m=0的两根互为相反数?思路图示两根互为相反数求出m保留小于0的解.答案根据题意,得由得m1=-1,m2=.由得m=不合题意，舍去,因此m=-1时，方程的两根互为相反数.类题突破3已知关于x的一元二次方程x2-px+q=0的两根是x1=1,x2=-2,则二次三项式x2-px+q可分解为（ ）A.(x-1)(x+2) B.(x-1)(x-2) C.(x+1)(x-2) D.(x+1)(x+2)答案A点拨由于x1=l,x2=-2是x2-px+q=0的两个根，所以x2-px+q=(x-1)(x+2).故选A.也可以由根与系教的关系得一(一p)=x1+x2，q=x1x2，于是可求出p=x1+x2=1-2=-1，,q=x1x2=1（-2）=-2，二次三项式为x2+x-2可分解为(x-1)(x+2).重点难点重难点 一元二次方程根与系数的关系的应用一元二次方程x2+px+q=0(p,q为常数，p2-4q0)的两个实数根为x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q；对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根为x1，x2，有x1+x2=-，x1x2=。（1） 一元二次方程根与系数的关系在应用时要注意以下几点：使用一元二次方程根与系数的关系时，要先把方程化为一般式,并注意隐含条件a0；一元二次方程根与系数的关系应用的前提是方程有实数根，因此在应用时，一定要记住判别式b2-4ac0这一隐含条件；写x1+x2=-，x1x2=时，不要弄错符号。(2) 一元二次方程根与系数的关系主要有如下几个方面的应用（前两个是重点）；写出两根之和与两根之积；已知方程的一个根，求另一个根及未知的系数；不解方程，求方程两根的对称式的值，它主要用到如下式子的变形：；，（x1+a）（x2+a）=x1x2+（x1+x2）a+a2等。例1 设方程5x2+4x-3m=0的一个根是1,求方程的另一个根及m的值。解析用根与系数的关系中两根之和求出另一个根，再用两根之积求出m的值，答案设方程的两个根为x1，x2,其中x1=1，则 解得 所以方程的另一个根是一,m=3。方法归纳此类题也可用方程根的定义，将已知的一根代入原方程，求出来知系数，再求出另一根。类颐突破1已知整数系数方程x2+(m+3)x+2m+3=0有一个正根和一个负根，且正根的绝对值较小,求m的值和方程的根。答案 由题意，m应同时满足以下三个条件：由,得m-3. 由，得m-，综合得-3m-，因为m为整数,所以m=-2.把m=-2代人原方程可得x2+x-1=0.解得。点拔 m的值应满足三个条件：由于方程是整数系数，所以m是整数；方程有异号两根,即x1x20；正根的绝对值较小，说明x1+x20，由此三个条件确定m的值。规律总结要使一元二次方程ax2+bx+c=0有两个异号根，只需x1x20的条件，因为x1x2=0ac0，也就是说，如果x1x20成立。例2已知关于x的方程x2一2(m-2)x+m2=0，试问:是否存在实数m,使得方程的两个实数根的平方和等于56,若存在，求出m的值，若不存在.试说明理由。思路图示2(m-2)2一2m2-56求出m.答案 设存在m且满足条件，则因为x1+x2=2(m-2),x1x2=m2，所以x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4（m-2）2-2m2=2m2-16m+16，由,得2m2-16m+16=56.即m2-8m-20=0,解得m1=10,m2=-2.由,得4(m-2)2-4m20,解得m1.所以m=10不合题意，舍去,得m=-2.即存在m=-2,使得原方程两根的平方和等于56.类题突破2已知x1，x2是方程x2+(2a-1)x+a2=0的两个实数根,且(x1+2)(x2+2)=11,求a的值。答案x1，x2是方程x2+(2a-1)x+a2=0的两个实数根，x1+x2=-(2a-1)=1-2a,x1x2=a2.又(x1+2)(x2+2)=11，x1x2+2(x1+x2)+4=11.x1x2+2(x1+x2)-7=0.a2+2（1-2a）-7=0，即a2-4a-5=0.解得a=-1或a=5.关于x的方程x2+(2a-l)x+a2=0有两个实数根，(2a-1)2-4a20,得a.a=5不符合题意，舍去，a=-1. 点拨本题涉及含待定字母的一元二次方程的两个根，以及与方程两个根有关的代数式的值，求待定字母的值，需要考虑三个方面的因素:二次项系数不为0；判别式大于或等于0；符合已知条件。易错指导易错点1 对一元二次方程的根与系数的关系掌握不好例1 设x1，x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，求的值错解 x1，x2是方程x2+3x-3的两个实数根，x1+x2=3,x1x2=-3.则原式=错因分析 把一元二次方程得两根之和看作，导致计算过程错误.正解 因为x1，x2是方程x2+3x-3的两个实数根，x1+x2=-3，x1x2=-3.则原式=纠错心得 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，在应用时要注意两根之和与两根之积的关系。 易错点2利用一元二次方程的根与系数的关系时，忽略根的判别式的作用 例2关于x的一元二次方程x2+(k2-4)x+-1=0的两根互为相反数,求k的值， 错解由题意得x1+x2=0,即-（k2-4)=0，解得k=士2.错因分析 在判别的过程中，只根据根的系数的关系求解，而没有考虑到原一元二次方程有两个根，