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1.定义,极限为零的变量称为无穷小.,一、无穷小,第八节 无穷大与无穷小,例如,注:,无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,零是可以作为无穷小的唯一的数.,1. 无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,无穷小量性质,2. 无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,二、无穷大,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注:,无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷大,无界，,证,定理4 在同一自变量变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,三、无穷小与无穷大的关系,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,A）无穷小；,B）无穷大；,C）有界但不是无穷小；,D）无界但不是无穷大。, 选D.,思考：,解: D正确.,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,四、无穷小的比较,定义:,记作=O()或 =O(),例1,解,例2,解,常用等价无穷小:,用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,例如,解,定理(等价无穷小替换定理),证,五、等价无穷小代换,例3,解,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,例4,解,解,错,例5,解,例6,例7 已知当x0时，,是等价无穷小，求a .,1.无穷小的比较:,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2.等价无穷小的替换:,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.,小结,思考题,任何两个无穷小量都可以比较吗？,思考题解答,不能,例当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,比较下列各对无穷小的阶,1）x1时 与,2）x1时, 与2(1-x),4）x1时, 与,3）x0时, 与,解 1）,2）,与2(1-x)是同阶无穷小。,3）,是比sinx tanx低阶无穷
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