工程力学-简单复习-2012.ppt

,力系的平衡条件与平衡方程,平面一般力系的平衡方程为：（基本形式）,1,平面一般力系平衡方程还可表达为下列二种形式：,二力矩式 （AB不垂直于X轴),注意：平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可写出无数个平衡方程。但独立平衡方程只有三个。,2,若取汇交点为矩心，力矩方程自动满足。 独立平衡方程只有2个。,平面汇交力系:,或,或,AB连线与力不平行,3,平衡方程的一般形式,投影方程,力矩方程,空间任意力系:,4,将原点取在汇交点， 有 Mx(F)0, My(F)0; Mz(F)0 平衡方程是： Fx=0； Fy=0； Fz=0,取y轴与各力平行， 有 Fx0; Fz0; My(F)0 。 平衡方程是： Fy=0； Mx(F)=0； Mz(F)=0,5,物系平衡的特点： 物系中每个构件也是平衡的； 每个构件最多可列3个独立的静力学平衡方程； 整个系统最多可列3n个独立的静力学平衡方程（设物系中有n个物体）。,6,例:求图示结构中铰链A、B处的约束力。,解：1）以整体为研究对象，作受力图如右所示。,2）以BC为研究对象，作受力图如下：,Fy=0：FAy+FCsin30-1-2=0,MA(F)=0：FC.1-1.1-2.1.5=0,解方程得到： FC=4kN; FAy=1kN; FAx=2kN,根据二力平衡公理有，FB=FC; 所以有：FB=4kN。,7,试求图示多跨刚架A、B、C、D处的约束反力。,8,以CD为研究对象，受力图如下：,X=0：XD-10=0 所以XD =10kN,MD=0：RC.4-2.4.2=0 所以RC =4kN,ME=0：-YD.4+2.4.2=0 所以YD =4kN,E,9,以整体为研究对象，受力图如下：,X=0：XA-10=0 所以XA =10kN,MA=0：-6.12.6+RB.12-2.4.14+10.4+RC.16=0 所以RB =36.7 kN,Y=0：YA-6.12-2.4+ RB + RC =0 所以YA =39.33kN,10,1)小车为研究对象，列平衡方程： MD(F)=0: 2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN ME(F)=0: -2FD+W-3P=0 FD=10kN,例: 梁ACB如图。梁上起重小车重W=50kN，吊 重 P=10kN，求A、B处的约束力。,11,由(1)知，FAx=0。,列平衡方程： Fx=0: FAx=0 -(1) Fy=0: FAy+FBy-P-W=0 -(2) MA(F)=0: MA+12FBy-4W-8P=0 -(3),3)取系统整体为研究对象，画受力图。,4m,C,A,4m,1m,1m,8m,B,W,P,将FBy代入(2)、(3)式，求得： FAy=P+W-FBy=53.75 kN MA=4W+8P-12FBy=205 kN.m,12,例 夹紧装置如图。设各处均为光滑接触，求力F作用下工件所受到的夹紧力。,以A、B块和杆AB组成的系统为研究对象,受力如图。需要求的是FC。,列平衡方程： Fy=0:FB-F=0 FB=F,解：方法一:,MA(F)=0:FB.ABcos-FC.ABsin=0 FC=Fctga。,可见，越小，夹紧力越大。,13,逐一讨论A、B，可解。,方法二:,方法三:, FC=Fctg,14,解： 选整体研究 受力如图 选坐标 列方程为:,已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？,解方程得,15,16,物体Q重1200N，由三杆AB、BC和CE所组成的构架和滑轮E支持，如图所示。已知AD = DB = 2m，CD = DE = 1.5m，不计杆和滑轮重量。求支承A和B处的约束反力，以及杆BC的内力。,（1）以整体为研究对象,（2）以AB为研究对象,17,已知AC = BC = CD = DE = 2L，R=L，不计杆和滑轮重量。求支承A和E处的约束反力，以及杆BD所受的力。,18,构架ABC由三杆AO、AB和CD组成，如图所示。杆CD上的销子E可在杆AB的槽内滑动。求在水平杆CD的一端作用铅直力F时，O、 C 、 A、E和B处的约束反力。,19,图示梁AB与BC在B处用中间铰连接，受分布荷载q=15kN/m和集中力偶M=20kN.m作用，试求A、B、C处约束力。,20,一直径d=120mm的传动轴受力如图所示，P=3kN，Q=6kN，m=3kNm，求A、B处约束反力。,21,如图所示，水平梁由AC和CD两部分组成，它们在C处用铰链相连，梁的A端固定在墙上，在B处受滚动支座支持。已知：Q = 10kN，P = 20kN，均布载荷p = 5kN/m，梁的BD段受线性分布载荷，在D端为零，在B处最大值q = 6kN/m，试求A和B处的约束反力。,22,解得,解得,取吊车梁,画受力图.,解得,取右边刚架,画受力图.,解得,解得,对整体图,6.1.3 连接件的强度设计,连接件: 用螺栓、铆钉、销钉、键及零构件连接而成。,2019/7/12,25,2019/7/12,26,27,扭矩的符号规定：,右手螺旋法则（Right-hand cordscrew rule）,扭矩的量纲：N.m，kN.m,2019/7/12,28,任一横截面上的扭矩等于保留段上所有外力偶矩的代数和，外力偶矩的正负号规定如下：,注意:,若保留段为右段，则根据右手螺旋法则确定的大拇指指向向右的外力偶取为正值；,若保留段为左段，则根据右手螺旋法则确定的大拇指指向向左的外力偶取为正值。,2019/7/12,29,讨论：,（1）由图知：,（2）若将主动轮A和从动轮D位置互换，合理否？,注意: 1)扭矩图画在载荷图的对应位置上 2)标注数值大小、单位和正负号； 3)阴影线垂直于横坐标,不是斜线 4)封闭的实线图,2019/7/12,30,二、薄壁圆筒剪应力 大小：,A0：平均半径所作圆的面积。,2019/7/12,31,a,c,d,dx,b,dy,t,z,剪应力互等定理（剪应力双生定理）:物体内任一点处两相互垂直的截面上,剪应力总是同时存在的,它们大小相等,方向是共同指向或背离两截面的交线。,纯剪切应力状态: 微元各面只有剪应力作用的应力状态。,三 、剪应力互等定理（theorem of conjugate shearing stress)：,2019/7/12,32,T横截面上的扭矩(twisting moment/internal torque at the cross section) 该点到圆心的距离(radial distance from the axis of the shaft),Ip截面对圆心的极惯性矩(polar moment of inertia of the cross- sectional area) , 只与截面几何相关。单位：mm4，m4。,（1）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截 面直杆。,讨论:,（2）尽管由实心圆轴 (solid circular shaft)推出，但同样适用于 空心圆轴( cored/hollow circular shaft), 只是Ip值不同。,2019/7/12,33,(3)最大和最小切应力( maximum and minimum shear stress),WT抗扭截面系数（抗扭截面模量）section modulus in torsion, 单位：mm3或m3。,最大切应力在圆轴表面处, 且有, =0 时, =0; = max=r 时, = max,2019/7/12,34,T,(4)应力分布Stress distribution,Solid circular shaft,cored /hollow circular shaft,2019/7/12,35,知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为,6.4.3 圆轴扭转时的变形Deformation of torsion of circular shaft,1）应用于T、G、Ip相同的一段；2）T代入代数值,2019/7/12,36,单位扭转角 ：,or,GIptorsional stiffness截面的抗扭刚度，反映了截面抵抗扭转变形的能力,Extensional rigidity（抗拉（压）刚度）,2019/7/12,37,here allowable shear stress许用切应力,6.5.2 强度条件(Strength condition),(1) Check strength：,(2) Design dimension of section：,(3) Determinate allowable load：,三大作用:,2019/7/12,38,or, is named as the allowable angle of twist per unit length.,6.5.3刚度条件Stiffness Condition in a Circular Shaft,2019/7/12,7.1 Concept of bending弯曲的概念,(1)External load: 垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。),Bending弯曲,(2)Deformation:原为直线的轴线变为曲线。),(3)Element: 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件。),2019/7/12,39,平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。,对称轴,纵向对称面,平面弯曲梁,挠曲线,2019/7/12,40,左上右下，Fs为正,左顺右逆，M为正,内力按正向假设！,2019/7/12,41,梁的弯曲内力：剪力和弯矩,横截面上的剪力在数值上等于保留段上所有横向外力（不包括力偶）的代数和。横向外力的正负号按如下规定：,保留段若为右段，则向下的横向外力，引起正的剪力;向上的横向外力引起负的剪力：,保留段若为左段，则向上的横向外力，引起正的剪力，向下的横向外力引起负的剪力：,2019/7/12,42,横截面上的弯矩，在数值上等于保留段上所有外力（包括力偶）对截面形心取矩的代数和。外力对截面形心取矩的正负号按如下规定：,对于横向力引起的弯矩：不论保留段是左段还是右段，向上的横向外力对截面形心之矩均引起正的弯矩；,对于力偶引起的弯矩：若保留段是左段，则顺时针的力偶引起正的弯矩；若保留段是右段，则逆时针的力偶引起正的弯矩。,2019/7/12,43,example please write the internal force equations and draw the internal force diagram of the following beam.,solution： determine reactions, write shear and moment equations, draw shear and moment diagram,if FS=0 then M has a maximum,ql /2,ql 2/8,ql /2,2019/7/12,44,外力,Uniform load part 均布荷载作用段,Concentrated load集中力作用处,Concentrated couple集中力偶作用处,FS图特征,M图特征,2019/7/12,45,1 First moments of area and centroid 静矩和形心,1.1 First moments of area静矩,对 y 轴的静矩：,对 z 轴的静矩：,大小:正, 负, 0,量纲:长度3,Sz、Sy 的值随y轴或z轴的改变而改变。,Geometric Properties of Plane Areas,2019/7/12,46,1.2 Centroid形心,即图形对形心轴的静矩为0。,Here yc and zc are centroidal coordinate,Sz =0 yc =0 z轴是形心轴（centroidal axis）,Sy =0 zc =0 y轴是形心轴（centroidal axis ）,Geometric Properties of Plane Areas,几何形心=等厚均质薄片重心,2019/7/12,47,1.3 First moments and centroid of composite areas 组合截面图形的静矩和形心,(1) First moments of composite areas 组合截面图形的静矩,(2)Centroid of composite areas组合截面图形的形心,Geometric Properties of Plane Areas,2019/7/12,48,2 Second moments of area and inertia radius 二次矩和惯性半径,2.1 Second moments of area二次矩,对 y 轴的轴惯性矩：,对 z 轴的轴惯性矩：,极惯性矩：,Iz , Iy the moments of inertia(轴惯性矩) of an area about z- and y- axes; Ip the polar moment of inertia of an area about point O （极惯性矩） Iyzthe product of inertia of an area(惯性积),Geometric Properties of Plane Areas,惯性积：,2019/7/12,49,(1) 量纲:L4 大小: Iz , Iy , Ip : 正 Iyz: 正, 负，0,(2) Iz , Iy , 相对于一个坐标轴 Iyz 是相对于一对坐标轴, Ip 是相对于一个点,(3 ) Ip = Iy + Iz O点是y轴、z轴的交点。,Geometric Properties of Plane Areas,（4） y轴或z轴是对称轴时 Iyz =0,2019/7/12,50,(4)second moments of several common areas 常用截面的二次矩,Geometric Properties of Plane Areas,2019/7/12,51,Geometric Properties of Plane Areas,（5）second moments of composite areas组合截面图形的二次矩,2019/7/12,52,2.2 inertia radius惯性半径,对 y 轴的惯性半径：,对 z 轴的惯性半径：,Geometric Properties of Plane Areas,2019/7/12,53,Iyz =0,Iyz =0 且y轴和z轴的交点与截面形心重合,Geometric Properties of Plane Areas, y轴和z轴是 主惯性轴（ principal axis ），简称主轴。,y轴和z轴称为形心主惯性轴（centroidal principle axis），简称形心主轴，截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。,2019/7/12,54,Geometric Properties of Plane Areas,（1）截面对某轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩和两轴间距离的平方与截面面积的乘积之和。,（2）在一组相互平行的轴中，截面对各轴的惯性矩中以形心轴的惯性矩为最小。,2019/7/12,55,形心主轴：,截面的几何性质,2019/7/12,56,惯性矩、惯性积的转轴公式：,形心主惯性矩：,形心主惯性矩小者为截面对所有轴的惯性矩中的最小值。,3、求截面形心主惯性矩的方法,、建立坐标系。,、计算面积和静矩,、求形心位置:,、求形心主惯性矩,、求形心主轴方向0:,、建立形心坐标系，求,截面的几何性质,2019/7/12,57,平面弯曲,8 梁的弯曲应力与强度计算,8.1 梁弯曲时横截面上的正应力,2019/7/12,58,shear-bow横力（剪切）弯曲(AC、DB段) ： FS0，Mconst,Pure bending/simple bending 纯弯曲(CD段)： FS=0，M=const0,2019/7/12,59,式中1/为梁弯曲后轴线的曲率，EIz为梁的抗弯刚度(bending stiffness)。,讨论：,Wz=Iz/ymax 抗弯截面系数section modulus in bending，单位为:L3,（1）同一横截面上的最大正应力和最小正应力,距中性轴最远处，正应力最大；中性轴上，正应力为0，最小。,（2）按绝对值计算正应力 的大小，依据弯曲后的拉压情况判断正负。,2019/7/12,60,（3） application of the formula:,The linear elastic material of the pure bending纯弯曲的线弹性材料 The linear elastic material of the shear-bow of the ratio of span to height l/h is larger than 5 跨高比大于5的横力弯曲的线弹性材料,2019/7/12,61,（5） 横截面上正应力分布律Normal stress distribution of cross section,也可以表示为+max=-max,2019/7/12,62,弯曲正应力强度条件：,处处均应满足强度条件。,8.2 弯曲正应力的强度条件 Strength condition of normal stress of bending,2019/7/12,63,危险截面critical cross-section: |M|max 截面,2019/7/12,64,若中性轴是横截面的对称轴，则危险截面为： |M|max 截面,2019/7/12,65,切应力分布及最大切应力 Shear stress distribution and maximum shear stress,2019/7/12,66,(2)strength condition of shear stress剪应力强度条件,Critical point 危险点：,In general，,Critical section 危险截面：FSmax,point at the neutral axis of critical section 危险截面的中性轴上,2019/7/12,67,9.2.1弯曲变形的度量,1. 挠曲线：变形后梁的轴线。,2. 挠度（deflection） y： 横截面形心沿垂直于轴线方向 的位移。向上为正。,3. 转角( slope /angle of rotation)：横截面绕中性轴转过的角度，即 y 轴与挠曲线法线的夹角，或 x 轴与挠曲线切线的夹角。逆时针方向为正。,9.2 挠曲线的近似微分方程,2019/7/12,68,C、D 积分常数(integral constant)由边界条件(boundary condition)和连续性条件(continuous condition)确定,挠曲线近似微分方程:,9.3 用积分法求梁的变形Determine deformation of beam applying integral method,2019/7/12,69,连续性条件 挠曲线为一条连续光滑的曲线，即在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。,boundary condition,continuous condition,如：在集中力、集中力偶以及分布荷载间断处，两侧的挠度、转角对应相等： y1= y2 ，1= 2,2019/7/12,70,Principle of superposition叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量（反力、内力、应力、变形）等于每个载荷单独作用时所引起的该参量的代数和。,method of superposition叠加法：应用叠加原理计算梁的某一参量的方法。 前提条件：小变形，材料服从虎克定律。,9.4用叠加法求梁的变形Determine deformation of beam applying the method of superposition,2019/7/12,71,Example:given: Pql ,EI，please determine yc and A.,+,（1）载荷分解：,（2）分别计算：,（3）叠加：,2019/7/12,72,刚度条件（刚度设计准则，criterion for stiffness design)：,作用：,2 设计截面,1 刚度校核,3 确定许可载荷,y和 分别是许用挠度和许用转角。,9.5梁的刚度计算及提高梁的刚度的措施,9.5.1梁的刚度计算,2019/7/12,73,74,平面应力状态小结：,求任一斜截面应力,求主应力,75,求主平面方位,主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。,画主单元体,主单元体如图所示,76,求极限切应力,最大和最小切应力：,相互垂直面上的应力关系,77,例：已知单元体上应力如图，求斜截面上的应力、主应力、主平面方位及画主单元体。（应力单位为MPa）,78,画出主单元体,79,Applying superposition (叠加）method, we can get the following Generalized hooks law（广义胡克定律）:,主应力 - 主应变关系,80,对于非主单元体(non-principle element)，各个面上既有正应力又有切应力，但在弹性范围内和小变形的情况下，线应变只与正应力有关，与切应力无关；切应变只与切应力有关，而与正应力无关。,81,Uniform strength condition :,Here rcorrespondence stress相当应力,vd=vdcr,82,Selected pinciple: according to failure type,1)Brittle materials脆性材料：in general, apply the first strength theory; but for three-dimensional compressive stress state,apply the third or fourth strength theory；一般采用第一强度理论，但在三