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文档简介

1,1.3 n阶行列式定义,2,1.3.1、概念的引入,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有 项，即 项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积,3,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,4,1.3.2、n阶行列式的定义,定义1.3.1,5,6,说明,1、行列式是一种特定的数值或表达式；,2、 阶行列式是 项的代数和;,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,5、 的符号为,7,例1 计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于 ,同理可得,解,8,即行列式中不为零的项为,例2 计算上三角行列式,9,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,10,例3,11,同理可得下三角行列式,12,例4 证明对角行列式,13,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,14,例5,设,证明,证,由行列式定义有,15,16,由于,所以,故,17,且每一项都是取自不同行不同列的n个元素的乘积，这与定义一致，因此只需证明每一项的符号也满足行列式定义的要求。,证明,18,其中s是排列q1q2qn的逆序数,t是排列p1p2pn的逆序数。 当行标排列q1q2qn经过若干次对换变为1,2,n时，列标由1,2,n变为排列p1p2pn， 因为一个排列经过若干次对换变为1,2,n的对换次数的奇偶性与原排列逆序数的奇偶性相同。 所以q1q2qn的逆序数,与p1p2pn的逆序数有相同的奇偶性。既有,所以定理得证。,19,定理1.3.2 阶行列式也可定义为,其中 是两个 级排列， 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和.,解,下标的逆序数为,所以 是六阶行列式中的项.,20,下标的逆序数为,所以 不是六阶行列式中的项.,21,例6 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.,解,431265的逆序数为,所以 前边应带正号.,22,行标排列341562的逆序数为,列标排列234165的逆序数为,所以 前边应带正号.,23,例7 用行列式的定义计算,24,解,25,(1)已知,(2)证明 在全部 阶排列中 ,奇偶排列各占一半.,例8,26,解(1),含 的项有两项,即,对应于,27,28,(2),将 个奇排列的前两个数对换,则这 个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以,故必有,29,1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,2、 阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,1.3.3、小结,30,4、行列式的三种表示方法,其中 是两个 级排列， 为行
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