格林公式·曲线积分与线路的无关性.ppt

3 格林公式曲线积分与线路的无关性,一 格林公式,主题：平面区域D上的二重积分与D的边界L上的 第二型曲线积分的关系,1. 单连通区域, 复连通区域, 区域边界的方向,(单连通区域),(复连通区域),区域边界的方向:,当人沿边界行走时, 区域D总在其左边, 该方向为边界的正向, 相反为边界的负向.,2. 格林公式,定理22.3,若函数P(x,y), Q(x,y) 平面有界闭区域D上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则,其中L为D的边界曲线, 并取正向.,(1),公式(1)可表示为:,(2),若L为复连通区域,则L不止是一条曲线.,2. 格林公式,其中L为D的边界曲线, 并取正向.,(1),证:,只要证,(i),设D为x型区域,同理可证:,(ii),若D由一条按段光滑的闭曲线围成,如图所示, 将D分为D1, D2, D3,由(i)易得结论.,(iii),对复连通区域可作类似讨论.,定理22.3,若函数P(x,y), Q(x,y) 平面有界闭区域D上连续, 且有 连续的一阶偏导数, 则,注:,两个条件: P(x,y), Q(x,y) 及它们的偏导数都在D连续; D为有界闭区域;,(ii) 表明曲线积分与二重积分之间的关系.,(iii) 可利用二重积分计算曲线积分, 可利用曲线积分计算二重积分,3. 例,例1,计算,其中曲线AB是半径为r的圆在第一象限部分.,A,B,o,D,解:,P(x,y)=0, Q(x,y)=x,都在以半径为r的四分之一圆域D连续.,在D上用格林公式, 得,其中L的封闭曲线: AOBA,所以,例2,计算,其中L为任一不包含原点的闭区域的边界线.,D,L,解:,因为,显然, P(x,y), Q(x,y) 及其偏导数都在D连续,由格林公式, 得,例3,计算,其中L为圆心在原点半径为r 的圆周(取正向).,解:,L的参数方程为,注意r 的任意性.,例4,计算,其中L为以原点内点的有界闭区域的边界 (取正向).,L,解:,任作圆心在原点, 含于L内的圆周L1(设其半径为r).,L1,设L与L1围成的区域为D, 则由例2, 沿D的 边界的正向的第二型曲线积分为0, 即,其中L取逆时针方向, L1取顺时针方向.,(根据例3),4. 区域面积的曲线积分形式,若P(x,y)= - y, Q(x,y)=x, 则有,故D的面积为:,例5,求由星形线,所围成的面积.,解:,由上所述, 所求的面积为,应用格林公式计算第二型曲线积分:,其中L为圆周,的正向.,其中L是以A(1,1),B(3,2),C(2,5),为顶点的三角形,方向取正向.,其中m为常数,AB为由(a,0)到(0,0)经过,上半部的路线.,二 曲线积分与路线的无关性,例,计算,其中：,(i) 沿抛物线 y=2x2, 从O到B的一段；,(ii) 沿直线 y=2x 从O到B的一段；,(iii) 沿封闭线路OABO。,解:,(i),(ii),(ii),定理22.4 设D为平面单连通闭区域. 若函数P(x,y), Q(x,y)在D内连续, 且有 一阶连续偏导 数, 则以下四个条件等价:,(i) 沿D中任一按段光滑的闭曲线L, 有,(ii) 沿D中任一按段光滑的曲线L,与线路无关, 只与L的起点终点有关;,(iii),是D内某一函数的,的全微分, 即存在,D内的函数,(iv) 在D的每一点处, 有,证:,(i),(ii),(i) 沿D中任一按段光滑的闭曲线L, 有,(ii) 沿D中任一按段光滑的曲线L,与线路无关, 只与L的起点终点有关;,A,B,R,S,设ARB与ASB为联结点A, B的任两条光滑曲线.,由(i),由ARB与ASB的任性, 故(ii)得证.,证:,(ii),(iii),(ii) 沿D中任一按段光滑的曲线L,与线路无关, 只与L的起点终点有关;,(iii),是D内某一函数的,的全微分, 即存在,D内的函数,由(ii)知,曲线积分,与积分路线无关, 故当B(x,y)在D内变动时, 其积分 值为B(x,y)的函数.,记,以下证:,记,以下证:,由积分中值定理, 得,所以,同理可证:,(iii),(iv),(iii),是D内某一函数的,的全微分, 即存在,D内的函数,(iv) 在D的每一点处, 有,由(iii)有,又P(x,y), Q(x,y) 有连续的一阶偏导数，故,(iv),(i),(iv) 在D的每一点处, 有,(i) 沿D中任一按段光滑的闭曲线L, 有,设L为D中任一按段光滑的闭曲线L,记L围成的区域为D1.,由于D为单连通区域, 故D1含在D内. 在D1应用格林公式, 并注意到,得,定理22.4 设D为平面单连通闭区域. 若函数P(x,y), Q(x,y)在D内连续, 且有 一阶连续偏导 数, 则以下四个条件等价:,(i) 沿D中任一按段光滑的闭曲线L, 有,(ii) 沿D中任一按段光滑的曲线L,与线路无关, 只与L的起点终点有关;,(iii),是D内某一函数的,的全微分, 即存在,D内的函数,(iv) 在D的每一点处, 有,注:,1) D为单连通区域,L,L1,D,例,考察,其中L为复连通区域D的边界(取正向).,则,满足(iv): 在D的每一点处, 有,满足(i)?,2) 通常用(iv)来判断第二型曲线积分与线路的无关性:,例 判断下列积分是否与积分线路有关:,(1),(2),L为右半平面的路线.,(3),L为不包围原占的路线.,(4),(x),(y)为连续函数.,3) 当与线路无关时，从A(x0,y0)到B(x1,y1)的第二型曲线积分可表示为,4) 当与线路无关时，可选择适当的路线计算第二型曲线积分,例 计算下列第二型曲线积分:,(1),(2),L为右半平面的路线.,(3),L为不包围原占的路线.,(4),(x),(y)为连续函数