复变函数与积分变换复习提纲(仅供参考).ppt

复变函数与积分变换A（闭卷）考试时间：2011年1月13日 14：0016：00 电子信息1，2班：教三101 电子信息3，4班：教三103,考试题型：填空题8题（共32分）， 解答题7题（共68分）， 满分100分,其中： 积分变换不考填空题，只考 大题（占20分），复变函数 （占80分）,复变函数考查内容：,复数 (一般表示，三角表示，指数表示，实部，虚部，模) 复数的四则运算，幂与方根，单连通域的概念。 复变函数：主要考察把曲线从xy平面映到uv平面的象的求法。,第一章：,第二章：,解析函数：主要考察定义和P41页的定理一和二(CR方程) 几个重要的初等函数的表达式(指数函数，对数函数，乘幂 函数与幂函数，三角函数与双曲函数),第三章：重点是计算积分,复变函数积分的概念(理解，掌握积分路径与积分值的关系) 灵活应用柯西古萨基本定理，复合闭路定理，柯西积分公式，高阶导数公式解题 理解原函数与不定积分的概念及其计算。 掌握解析函数与调和函数的关系(已知解析函数的实部会求虚部，已知虚部会求实部),第四章：重点是展开级数，求收敛域，求和函数,理解复数列级数的概念，理解泰勒，罗朗级数的定义 掌握幂级数求法，求收敛半径(比值和根值判别法) 使用已知级数(识记五种简单级数展开式)和间接法展开泰勒级数和罗朗级数(P117定理四)，注意在不同点展开后是不一样的。收敛域的求法。,第五章：判别孤立奇点类型，计算留数以及三种特殊类型的积分,判别孤立奇点类型(掌握三种孤立起点的定义，灵活运用)，理解无穷远点的性态。 灵活运用留数定理和几种计算规则来计算留数。理解无穷远点的留数转化为原点的留数的方法。 三种特殊类型的积分的计算，掌握使用条件以及如何转化为留数来计算的方法。,积分变换考查内容：,第一章：重点求函数的傅立叶变换，解微分和积分方程,理解傅立叶积分和傅立叶变换的概念 灵活应用傅里叶变换的性质(4条)和卷积定理来求傅里叶变换 掌握微分和积分方程的傅立叶解法 熟记若干简单的函数的傅立叶变换(傅立叶逆变换),第二章：重点求函数的拉普拉斯变换，解微分和积分方程,理解拉普拉斯变换的概念 灵活应用拉普拉斯变换的性质(4条)和卷积定理来求拉普拉斯变换，以及理解用留数定理求拉普拉斯逆变换的方法 掌握微分和积分方程的拉普拉斯解法 熟记若干简单的函数的拉普拉斯变换(拉普拉斯逆变换),例1 计算,例2 求复数,的实部，虚部和模。,函数,将,平面上的曲线,变成,平面上的曲线,例3,是_.,例4 若,试求n的值,例5 设,试证,例6 求,例7 求p，m，n的值使得函数,为解析函数。,例8 设f(z)=,(1)求f(z)解析区域； (2)求,例9设C是正向圆周,则,=（ ）,例10设C是正向圆周,，则,=（ ）,例11设C为从-i到i的左半单位圆周，则,( ),例12 设,。求,，使得,。其中,（D为复平面内的区域）。,为解析函数，且满足,例13. f(z)=,在圆环域0|z|1内的罗朗展开式为 .,例14求,处的泰勒展开式，并指出收敛圆域.,例15 若,_。,将函数,在点z=1处展开为泰勒级数.,例16,公共邮箱：fbhs_ 密码：123456,例17 z=1是函数f(z)=,的_.（填孤立奇点的类型）,例18 设f(z)=,，则Resf(z),0=_,Res,= .,例19,z=i是f(z)=,的_,例20,（填孤立奇点的类型(若是极点说明其级数)）,例21 设函数,则Resf(z),-i= _,例22 （1）求,在上半平面的所有孤立奇点； （2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数； （3）利用以上结果计算积分,.,例23（1）求,在上半平面的所有孤立奇点； （2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数； （3）利用以上结果计算积分,26,第一章 Fourier变换,1 重点和难点,2 内容提要,3 典型例题,一、重点与难点,重点：,难点：,1 求函数的Fourier变换(Laplace变换),求函数的Fourier (Laplace)变换,2 Fourier变换(Laplace变换)的简单应用,傅氏积分定理 若f(t)在(-, +)上满足条件: 1). f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2). f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积, 则有,1 Fourier积分定理,二、内容提要,若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件, 则在f(t)的连续点处, 有,(1)式叫做f(t)的Fourier变换式, (2)式为F(w)的Fourier逆变换式, f(t)与F(w)可相互转换,可记为 F(w)= f(t) 和 f(t)= -1F(w),2 Fourier变换,称de(t)的弱极限为d-函数, 记为d(t).即,3 单位脉冲函数及其傅氏变换,（2）,函数为偶函数,即,（3）,其中,称为单位阶跃函数.反之,有,d-函数有性质:,(1),两个常用的积分：,一般地，有,(1).线性性质 设F1(w)= f1(t), F2(w)= f2(t), a, b是常数,则 af1(t)+bf2(t)=aF1(w)+bF2(w),同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即 -1aF1(w)+bF2(w)=af1(t)+bf2(t),4 Fourier变换的性质,(2).微分性质 如果f (t)在(-, +)上连续或只有 有限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则 f (t)=j w f (t).,同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设,为实常数,则,(3). 位移性质:,2）象函数的位移性质,为实常数,则,1）象原函数的位移性质,(4). 积分性质,实际上, 只要记住下面几个常用的Fourier变换, 则所有的Fourier变换都无须用公式直接计算而可由Fourier变换的性质导出.,卷积满足下列性质:,5 卷积和卷积定理,卷积定理 假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件, 如 f1(t) =F1(w), f2(t) =F2(w),则 f1(t) * f2(t) = F1(w)F2(w) 以及,同理可得,任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为,单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用.,首先取傅氏变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取逆变换得最后的解. 如下图所示.,象原函数 (微分方程的解),象函数,微分、积分方程,象函数的