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,一、函数、极限、连续,三、多元函数微分学,二、导数与微分,微分学,四、微分学应用,一、 函数、极限、连续,1. 一元函数,显函数,定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。,隐函数,参数方程所表示的函数,函数的特性,有界性 ,单调性 ,奇偶性 ,周期性,复合函数(构造新函数的重要方法),初等函数,由基本初等函数,经有限次四则运算与有限次,复合而成且能用一个式子表示的函数.,基本初等函数:,常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数,2 极限,极限定义的等价形式,(以 为例 ),极限运算法则,无穷小,无穷小的性质 ;,无穷小的比较 ;,常用等价无穷小:,两个重要极限,等价无穷小代换,存在 (或为 ),定理,(洛必达法则),说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,洛必达法则,3. 连续与间断,函数连续的定义,函数间断点,第一类（左右极限存在）,第二类（左右极限至少有一个不存在）,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,重要结论：初等函数在定义区间内连续,例1. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,二、 导数和微分,导数 定义:,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分 :,关系 :,可导,可微,导数几何意义:切线斜率,1. 有关概念,2.导数和微分的求法,正确使用导数及微分公式和法则 （要求记住！）,高阶导数的求法(逐次求一阶导数）,例2. 求函数,的导数,解：,例3. 求函数,在x处的微分,解：,三、多元函数微分法,1. 多元显函数求偏导和高阶偏导,2. 复合函数求偏导,注意正确使用求导符号,3. 隐函数求偏导,将其余变量固定，对该变量求导。,4. 全微分,5. 重要关系:,例4. 已知,解:,为正常数），求,解：设,则,例5. 设,四、 导数与微分的应用,1.导数的几何意义,例6.求曲线,上切线平行于x轴的点。,解：由,解得,得,代入,所求点为：,函数单调性的判定及极值求法,若,定理 1. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,在开区间 I 内可导,2. 函数的性态:,注意:,1) 函数的极值是函数的局部性质.,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.,极值第一判别法,且在空心邻域,内有导数,极值第二判别法,二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,例7. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸的 .,设函数,在区间I 上有二阶导数,凹弧凸弧的分界点为拐点,例8. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,的连续性及导函数,例9. 填空题,(1) 设函数,其导数图形如图所示,单调减区间为 ;,极小值点为 ;,极大值点为 .,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,单调增区间为 ;,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,极值必要条件,函数,偏导数,但驻点不一定是极值点.,且在该点取得极值 ,则有,存在,多元函数极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,时, 具有极值,极值充分条件,的某邻域内具有一阶和二阶连续