直线、平面垂直的判定和性质.ppt

高中数学模块2第二章,2.3.1直线与平面垂直的判定,生活中有很多直线与平面垂直的实例,实例引入,旗杆与地面垂直,大桥的桥柱与水面垂直,生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？,2.3.1直线与平面垂直的判定,构建直线与平面垂直的概念,1、定义：如果直线 与平面内的任意一条直线都垂直，,（1）阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？,记作： .,就说直线 与平面 互相垂直。,（2）随着时间的变化，影子的位置会移动，而旗杆与影子所成的角度是否发生了改变。,（3）旗杆AB与地面上不过点B的任意一条直线位置关系如何？它们所成的角为多少度？,平面的垂线,直线的垂面,垂足,2、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示,判断：,1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线 l 和平面 互相垂直（ ）,B,l,直线 l 垂直于平面 ，则直线 l 垂直于平面中的任意一条直线,探究,如下图，请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做一个试验：,过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起来放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）。 折痕AD与桌垂直吗？ 如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面 垂直？,探究直线与平面垂直的判断定理,折图,发现：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，这样翻折之后竖立的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直，其他位置都不能使AD与桌面垂直。,一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。,折痕AD与桌面上的一条直线垂直，是否足以保证AD垂直桌面?,定理：,探究直线与平面垂直的判断定理,注意:定理中的”两条相交直线”这一条件不可忽视。,由折痕ADBC，翻折之后这一垂直关系是一个不变关系，即有ADCD，ADBD，你能得到什么结论呢？,若a ,b ,ab=p, a, b,则 .,简记为：线线垂直 线面垂直,判断：,3.,1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线 l 和平面 互相垂直（ ）,B,l,直线 l 垂直于平面 ，则直线 l 垂直于平面中的任意一条直线,b,a,例1 如图，已知a/b, a ,求证b .,又因为 b/a, 所以 b m, b n.,又m ,n ,m , n 是两条相交直线，所以 b .,证明：在平面 内作两条相交直线m, n.,因为直线a ，根据直线与平面垂直的定义知 a m , a n .,判 定 定 理 的 应 用,1、如图，空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（ ） A 平行 B 垂直 C 相交 D 不确定,A,B,练习,3.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 是圆上一点 ,且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC,B,3.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 是圆上一点 ,且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC,判 定 定 理 的 应 用,四、直线和平面所成的角：,如图所示，一条直线PA和平面 相交，但不垂直，这 条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。,过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO ，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。,斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。,斜线,斜足,射影,一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角,一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 的角,直线和平面所成角 的范围是0，90,回顾反思,通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？,1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面.,2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。,3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。,归纳整理、整体认识,(1)请同学们归纳一下，获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。,直观感知-操作确认-获得判定定理,(2)直线与平面垂直的判定定理，体现的数学思想方法是什么？,定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。,1.对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线m,使m与l( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 3.两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？若两条直线平行，则它们与一个平面所成的角一定相等吗？ 4.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC, AB=BC,求证 VB AC,当堂检测,(1题),2.如图，PA 面ABC, ABC中， ACB =90， 则图中Rt的个数为_个.,B,4,4.如图，在空间四边形ABCD中, PA面ABC, ACBC, 若AE PB,AF PC 求证：EFPB,练习,1.在正方形ABCD-A1B1C1D1中，求证：BD 面AC