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福建省高等代数（线性代数）教学研讨会 消元法与中国古代方程论 辛 林 福建师大数学与计算机科学学院,作为线性代数的基本方法，消元法是重要的方法之一。这一方法也常称为高斯-约当消元法。 1、线性方程组，通过“消元”，转化为同解的三角形方程组，从而导出方程组的解。 2、矩阵计算中，通过“消元”，转化为可判断的标准形，可用于计算矩阵秩、矩阵的逆阵等。 3、行列式计算中，通过“消元”，转化为上（下）三角形 ，从而计算出行列式的值。,高斯简介 高斯（Gauss C.F. 1777.4.30-1855.2.23）德国数学家、物理学家、天文学家。高斯是近代数学奠基人之一，在历史上影响很大，足以与阿基米德、牛顿、欧拉并列。1795年18岁进入哥丁根大学学习，第二年就发现正十七边形的尺规作图法，1799年获博士学位，证明了代数基本定理，还发明了最小二乘法原理，还将数学应用于天文学、大地测量学和磁学等。其数学研究几乎遍及数学的所有领域，一生中共发表155篇论文，还有许多作品在生前并未发表，如椭圆函数的双周期性的发现，非欧几何等。,高斯-约当消元法,早期人们对高斯消元法一直用于大地测量学，因此被认为测地学发展的一部分。高斯消元法最早出现在Wilhelm Jordan撰写的测地学手册中。为此人们通常将其称为高斯-约当消元法。这里的Wilhelm Jordan不是法国数学家Camille Jordan(后者有约当标准形，Jordan-Holder定理等),公元前3世纪，算筹已经普遍使用，算筹记数法采用十进位值制，这是世界上最早使用十进位值制的记数体系之一:如下是竖式和横式两种1-9数字 奇数位用竖式，偶数位用横式，零置空,孙子算经（公元4世纪）描述算筹记数法： 一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。 例：为表示548，则算筹记数是,到了汉代出现正数用红筹而负数用黑筹，到15世纪珠算普及前，算筹制度在中国沿用了2000多年。古语：“运筹帷幄”早先就是刻画数学家有非常的筹算能力,算经十书,周髀算经， 九章算术 海鸟算经， 孙子算经 张邱建算经， 五曹算经 五经算术， 辑古算经 数术记遗 (原缀术)，夏侯阳算经,下面是九章算术中典型的盈亏问题： “今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几何？”,最优秀之作九章算术： 全书九章，共246题。,本题含义： 今有若干人共买一物，若每人出8元，则剩余3元；若每人出7元，则差4元；问共有多少人，该物多少价？,如果用现代代数方程的方法，可得如下解：设x人，物价为y, 则得线性方程组 8x - y = 3 y - 7x = 4,但古代线性方程组是,九章算术又例： 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗. 问上、中、下禾实一秉各几何？ 注：题中的“禾”为黍米，“秉”为捆，“实”为打下来的粮食。,按现代方程求解：,若设上中下禾各一秉打出的粮食分别为x,y,z斗，则按现代线性方程组形式就是 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z =26 但按古代应立方程：,用算筹列式如下：,中国古代数学泰斗刘徽（公元263年左右）称这类问题是“群物总杂，各列有数，总言其实”，处理方法是 “令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。” 就是说，将这些数按类一行一行的列出来，有几个未知数就排上几行，各行称之为率，可以按比例扩大或缩小，刘徽把这样的数字方阵称为“方程”。,刘徽创造了“遍乘直除法”解线性方程组.,“遍乘直除”，实际上相当于现在的线性方程组上进行“倍法变换”然后再“消法变换”。因此“遍乘直除”实际上是进行一种“消元法”，而方程组的目标也是“化上三角形”，故这是典型的“高斯-约当消元法”.,遍乘直除法,对非线性方程表示及解法当属元朝数学家-李冶、朱世杰的方法出名。,李冶：1192-1279. 代表作：测圆海镜益古演段。方程未知数称为天元，求解方程求未知数的算法称为天元术。 常数项旁置一“太”，一次项旁置一“元”.如,增乘开方法,朱世杰（13世纪末-14世纪初），著有算学启蒙和四元玉鉴.他创造以“天地人物”四元建立四元高次方程，并以娴熟的“剔销”、“易位”、“互隐通分”、“内外行乘积”等多种方法进行消元计算。 朱世杰的具体做法是：立天元一为勾，地元一为股，人元一为弦，物元一为开数.,如：,参考文献,杜瑞芝主编，数学史，山东教育出版社，2000年 李文林，数学史教