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第四章 数系的扩充_复数,4.1 复数的概念,一. 复数的概念,数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程的需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。,我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0， 当b24ac0时，没有实数根。那么我们能否将实数集 进行扩充，使得在新的数集中，该问题可以得到圆满 的解决呢？ 回答是肯定的。实际上最根本的问题就是要解决 1的开平方问题，即怎样的一个数，它的平方会等于 1。,现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。 这样就解决了前面所提出的问题，即1可以开平方，且1的平方根为i.,形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.,二.复数集,复数a+bi(a, bR)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位， 当b=0时，a+bi就是实数， 当b0时，a+bi是虚数，其中a=0且b0时称为纯虚数。,全体复数所成的集合叫做复数集.,这样实数集就是复数集的一个子集。 它们的关系如下：,三.复数相等的定义,根据两个复数相等的定义，设a, b, c, dR，两个复数a+bi和 c+di 相等规定为a+bi =c+di . 由这个定义得到 a+bi=0 . 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。,如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.,例1.实数 m 取什么数值时，复数z=m +1+(m1)i是： （1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？,解：复数z=m+1+(m1)i 中，因为mR，所以m+1，m1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，, （1）m=1时，z是实数； （2）m1时，z是虚数；,（3）当 时，即m=1时，z是纯虚数；,例2.已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x, yR，求x, y.,解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部 ，虚部等于虚部，得方程组， 解得 x= , y=4.,x,o,1,你能否找到用来表示复数的几何模型吗？,实数可以用数轴上的点来表示。,一一对应,规定了正方向，,直线,数轴,原点，,单位长度,实数,数轴上的点,(形),(数),(几何模型),复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面 (简称复平面),一一对应,z=a+bi,概念辨析,例题,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面 (简称复平面),一一对应,z=a+bi,概念辨析,例题,实数绝对值的几何意义:,能否把绝对值概念推广到复数范围呢？,X,O,A,a,| a | = | OA |,实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。,x,O,z=a+bi,y,| z | = |OZ|,复数的绝对值,复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。,(复数的模),的几何意义:,Z (a,b),例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i,(3)满足|z|=5(zC)的z值有几个？,思考：,(2)满足|z|=5(zR)的z值有几个？,(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a-3ai(a0),(1)复数的模能否比较大小？,这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？,图示,课堂小结：,一. 数学知识：,二. 数学思想：,(1)复数相等,(2)复平面,(3)复数的模,(3)类比思想,(2)数形结合思想,(1)转化思想,课题：复数的有关概念,(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。,辨析：,1下列命题中的假命题是（ ）,D,2“a=0”是“复数a+bi (a , bR)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件,C,例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题,转化,(几何问题),(代数问题),一种重要的数学思想：数形结合思想,例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,变式：证明对一切