教育部课题圆的标准方程.ppt

教育部重点课题新教育子课题 在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践,温州市瓯海区三溪中学 张明,圆的标准方程,2019/7/14,3,一、我们知道，在笛卡尔之前，几何和代数是老死不相往来，各自分开。是笛卡尔让几何代数联系在一起。也就是通过直角坐标系。笛卡儿向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。 其实笛卡尔曾经有个伟大构想，那就是：把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程。只要把这个方程解出来，就解决了任何问题。我们知道按当代科技这个构想是不能实现的。比如化学、生物学科。就算是数学也不能都归结为方程问题。 把几何问题归结成代数问题这是个很新鲜的想法。 比如点有个坐标，但直线由点组成，所以直线是否有代数形式，这很新鲜的。我们知道在几何中两直线由相交、平行，那反应在代数上会是怎么回事，也是很新鲜的。在几何中有圆，那圆的代数形式是怎样的，在几何中直线与圆有好几种关系，这几种关系如果从代数角度讲会有新鲜的结论吗？ 这节课我们讲直线的代数形式，那就是直线的方程。这是很新鲜的东西，在笛卡尔之前是没有的。,2019/7/14,4,解析几何是17世纪最伟大的数学成果之一，它的产生有着深刻的原因 首先，生产力的发展对数学提出了新的要求，常量数学的局限性越来越明显了例如，航海业的发展，向数学提出了如何精确测定经纬度的问题；造船业则要求描绘船体各部位的曲线，计算不同形状船体的面积和体积；显微镜与望远镜的发明，提出了研究透镜镜面形状的问题；随着火器的发展，抛射体运动的性质显得越来越重要了，它要求正确描述抛射体运动的轨迹，计算炮弹的射程，特别是开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运行，要求用数学方法确定行星位置所有这些问题都难以在常量数学的范围内解决实践要求人们研究变动的量解析几何便是在这样的社会背景下产生的,总结：在当时以前的几何是定性研究不是定量研究，不是精确的计算。同学们平面几何或立体几何中有精确的计算吗？没有。,2019/7/14,5,其次，解析几何的产生也是数学发展的大势所趋，因为当时的几何与代数都相当完善了实际上，几何学早就得到比较充分的发展，几何原本建立起完整的演绎体系，阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论则对各种圆锥曲线的性质作了详尽的研究但几何学仍存在两个弱点，一是缺乏定量研究，二是缺乏证题的一般方法而当时的代数则是一门注重定量研究、注重计算的学科到16世纪末，韦达(FVieta， 15401603)在代数中有系统地使用字母，从而使这门学科具有了一般性它在提供广泛的方法论方面，显然高出希腊人的几何方法于是，从代数中寻求解决几何问题的一般方法，进行定量研究，便成为数学发展的趋势实际上，韦达的分析术引论(In artem analyticem isagoge)等著作中的一些代数问题，便是为解几何题而列出的,2019/7/14,6,在初中圆是属于平面几何内容，在笛卡尔之前，几何、代数相互分离，老死不相往来，笛卡尔后代数、几何结合在一起。那我们从代数角度研究圆看看，看看有什么不同新鲜的结论或与平面几何中圆的知识有什么不同的风景。,问题提出,1.在平面直角坐标系中，两点确定一条 直线，一点和倾斜角也确定一条直线， 那么在什么条件下可以确定一个圆呢？,2.直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？怎样建立圆的方程是我们需要探究的问题.,探究一：圆的标准方程,平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.,P=M|MA|=r.,圆上点的集合,数学思想：变化中的不变性,思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？,思考3:设圆心坐标为A(a，b)，圆半径 为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆的定义x，y应满足什么关系？,(x-a)2+(y-b)2=r2,P = M | |MA| = r ,圆心和半径,变化中的不变性,思考4:对于以点A(a，b)为圆心，r为半径的圆，由上可知，若点M(x，y)在圆上,则点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ；反之,若点M(x，y)的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ， 那么点M一定在这个圆上吗？,思考6:以原点为圆心,1为半径的圆称为单位圆,那么单位圆的方程是什么？,我们把方程 称为以A(a，b)圆心，r为半径长的,x2+y2=1,思考5:那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？,圆的标准方程,为什么被称为圆的标准方程？,1、“标准”意思衡量事物的准则：技术实践是检验真理的唯一。 本身合于准则，可供同类事物比较核对的事物：音时。 指样榜；规范。 2、说明还有其他方程。,1、圆心为 ，半径长等于5的圆的方程为（ ） A (x 2 )2+(y 3 )2=25 B (x 2 )2+(y + 3 )2=25 C (x 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y 3 )2=5,B,2、圆 (x2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r分别为（ ） A C（2，0） r = 2 B C（ 2，0） r = 2 C C（0，2） r = D C（2，0） r =,D,随堂练习,3、已知 和圆 (x 2 )2+(y + 3 )2=25 ，则点M在 （ ） A 圆内 B 圆上 C 圆外 D 无法确定,B,探究二：点与圆的位置关系,思考7:在平面几何中，初中学过：点与 圆有哪几种位置关系？,OAr,OAr,OA=r,思考9:在直角坐标系中,已知点M(x0，y0)和圆C： ,如何判断点M在圆外、圆上、圆内？,(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C外;,(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;,(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C内.,思考题： 集合(x，y)|(x-a)2+(y-b)2r2 表示的图形是什么？,2019/7/14,16,圆心C：两条直线的交点,半径CA：圆心到圆上一点,x,y,O,A(1,1),B(2,-2),弦AB的垂直 平分线,例1 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C在直线上l：x y +1=0，求圆心为C的圆的标准方程,探究三：圆的标准方程的应用,解题就是思维如何发生发展？为什么要这样发生发展？,2019/7/14,17,解：因为A(1, 1)和B(2, 2)，所以线段AB的中点D的坐标,直线AB的斜率:,解方程组,得,所以圆心C的坐标是,圆心为C的圆的半径长,所以，圆心为C的圆的标准方程是,2019/7/14,18,圆心：两条弦的中垂线的交点,半径：圆心到圆上一点,x,y,O,A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程,D,E,2019/7/14,19,例2： 的三个顶点的坐标分别A(5,1)、B(7,3)、C(2,8)，求它的外接圆的方程,解：设所求圆的方程是 (1),因为A(5,1), B(7,