学案7函数与方程及函数的实际应用.ppt

1.函数与方程的关系(会借助图象解决有关根个数的 问题). 2.数学建模(把实际问题转化成数学问题). 3.能熟练解决有关函数零点的问题并能用二分法求相 应方程的近似解. 4.数形结合思想在解答数学问题中的应用.,学案7 函数与方程及函数的实际应用,1.(2009福建)函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象关于 直线 对称.据此可推测，对任意的非零实数 a,b,c,m,n,p关于x的方程mf(x)2+nf(x)+p=0的解集 不可能是 （ ） A.1,2 B.1,4 C.1,2,3,4 D.1,4,16,64 解析 本题用特例法解决简洁快速,对方程mf(x)2+ nf(x)+p=0中m,n,p分别赋值求出f(x)代入f(x)=0求出 检验即得.,D,2.(2008安徽)若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函 数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=ex，则有 （ ） A.f(2)f(3)g(0) B.g(0)f(3)f(2) C.f(2)g(0)f(3) D.g(0)f(2)f(3) 解析 由题意得f(-x)-g(-x)=e-x，又f(x)为奇函数， g(x)为偶函数,所以上式可化为-f(x)-g(x)=e-x,与已 知f(x)-g(x)=ex联立得 所以f(x)在定义域R上 为增函数,所以0=f(0)f(2)f(3). 又g(0)=-10,所以g(0)f(2)f(3）.,D,3.(2009北京)已知函数 若f(x)=2, 则x=_. 解析 ,log32,4.若函数f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=-lg(-x)+x+3, 已知f(x)=0有一个根为x0，且x0(n,n+1),nN*,则 n的值为_. 解析 设x0,则-x0,所以f(-x)=-lg x-x+3,又因为 函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),则x0时, f(x)=lg x+x-3,又f(x)在(0,+)上是增函数, 由f(2)=lg 2-10,f(3)=lg 30, 所以x0(2,3)，则n=2.,2,题型一 函数的零点 【例1】(2009山东)已知定义在R上的奇函数f(x)， 且满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,若 方程f(x)=m (m0)在区间-8,8上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_. 解析 因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所 以f(x-4)=f(-x),所以函数图象关于直线x=-2对称且 f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以 8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间0,2上是增 函数,所以f(x)在区间-2，0上也是增函数.,如图所示，那么方程f(x)=m (m0)在区间-8,8上 有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1x2x3x4， 由对称性知，x1+x2=-12,x3+x4=4, 所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8. 答案 -8,【探究拓展】根据函数零点与方程的根之间的关系， 可以求解有关一元二次方程的根的分布问题,也可利 用零点的存在性定理来确定,即判断某个区间两端点 的函数值的符号来断定零点的存在及零点的个数.数 形结合也是处理这一类型问题的好方法.,变式训练1 设定义域为R的函数 若关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有三个不同的实根x1, x2,x3,则 的值为_. 解析 由图象可知若方程f2(x)+af(x)+b=0有三个不同 的实根只须f(x)=1,所以必有一根为2,另两根是方程 的根,这两根分别是1和3.,14,题型二 函数思想的应用 【例2】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c, (1)若abc,且a+b+c=0,试证明f(x)=0必有两个实根; (2)若对x1，x2R且x1x2，f(x1)f(x2),试证明方程 f(x)= f(x1)+f(x2)有两不等实根,且必有一个实根 属于(x1,x2). 证明 (1)若abc,a+b+c=0, 则a0,c0,且b=-(a+c),所以方程f(x)=0可化为: ax2-(a+c)x+c=0, 即a(x-1)(x - )=0, 则f(x)=0有两根x1=1,x2=,(2)令g(x)=f(x)- f(x1)+f(x2), 由题意可知:g(x)是开口向上的二次函数, 又g(x1)= f(x1)-f(x2), g(x2)= f(x2)-f(x1), 且x1x2,f(x1)f(x2), 所以g(x1)g(x2)= f(x1)-f(x2)20, 即函数g(x)在区间(x1,x2)内有零点,则方程g(x)=0在 有一实根属于(x1,x2),由二次函数的性质可知必有另 一实根.,【探究拓展】二次函数问题通常利用二次方程、二次 不等式之间的关系来处理,从而使方程问题函数化, 函数问题方程化，体现了函数与方程的思想. 变式训练2 已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如 果函数y=f(x)在区间-1，1上有零点，求实数a的取 值范围.,解 当a=0时，f(x)=2x-3, 其零点 不在区间-1，1上. 当a0时,函数f(x)在区间-1,1分为两种情况： 函数在区间-1,1上只有一个零点， 此时,函数在区间-1，1上有两个零点，此时 综上所述，如果函数在区间-1,1上有零点， 那么实数a的取值范围为(-, 1,+).,题型三 函数与方程的综合应用 【例3】(2009广东)已知二次函数y=g(x)的导函数 的图象与直线y=2x平行,且y=g(x)在x=-1处取得极小 值m-1 (m0).设函数 (1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值 为 ,求m的值; (2)k(kR)如何取值时,函数y=f(x)-kx存在零点,并求 出零点.,解 (1)设g(x)=ax2+bx+c(a0)，则g(x)=2ax+b; 又y=g(x)的图象与直线y=2x平行, 2a=2,a=1,又g(x)在x=-1处取得极小值, g(-1)=0,b=2. g(-1)=a-b+c=1-2+c=m-1,c=m; 设P(x0,y0),(2)由y=f(x)-kx=(1-k)x+ +2=0, 得(1-k)x2+2x+m=0. (*) 当k=1时,方程(*)有一个解 故函数y=f(x)-kx有一个零点 当k1时,方程(*)有二解=4-4m(1-k)0,当k1时,方程(*)有一解=4-4m(1-k)=0, 【探究拓展】此题考查了函数的零点、最值、一元二 次方程等基础知识，运用导数研究函数的性质的方 法，体现了函数与方程，分类与整合的数学思想方 法.,变式训练3 已知定义域为R的函数f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a); (2)设有且仅有一个实根x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x) 的解析表达式. 解 (1)因为对任意xR, 有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. 所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2. 又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2, 即f(1)=1,若f(0)=a, 则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.,(2)因为对任意xR,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. 又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0. 所以对任意xR,有f(x)-x2+x=x0. 在上式中令x=x0,有f(x0)- +x0=x0. 又因为f(x0)=x0,所以x0- =0, 故x0=0或x0=1, 若x0=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x. 但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾. 故x00. 若x0=1,则有f(x)-x2+x=1, 即f(x)=x2-x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上,所求函数f(x)=x2-x+1 (xR).,题型四 函数的实际应用 【例4】(2009山东)两县城A和B相距20 km,现计划 在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建 造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市 的距离有关,对城A和城B的总影响度为对城A与对城 B的影响之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的 垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表 明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距 离的平方成反比，比例系数为4;对城B的影响度与所 选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当 垃圾处理厂建在弧 的中点时，对城A和城B的总影 响度为0.065.,(1)将y表示成x的函数; (2)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在 一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影 响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在, 说明理由. 解 (1)如图所示,由题意知AC BC,即ACB=90, AC=x km，BC2=400-x2, 其中当 时,y=0.065,所以k=9. 所以y表示成x的函数为,18x4=8(400-x2)2,所以x2=160, x= ,当0x 时,18x48(400-x2)2, 即y0,所以函数为单调减函数, 当 x20时,18x48(400-x2)2,即y0, 所以函数为单调增函数.,所以当x= 时,即当C点到城A的距离为 时, 【探究拓展】本题主要考查了函数在实际问题中的应 用,运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换 元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.,变式训练4 (2009湖南)某地建一座桥,两端的桥墩 已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之 间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256 万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2+ )x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为 点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式; (2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?,解 (1)设需要新建n个桥墩,(n+1)x=m,令f(x)=0,得 所以x=64. 当0x64时，f(x)0,f(x)在区间(0,64)内为减 函数; 当64x640时,f(x)0, f(x)在区间(64,640)内为增函数, 所以f(x)在x=64处取得最小值, 此时, 故需新建9个桥墩才能使y最小.,【考题再现】 (2009江西)设函数f(x)=x3- x2+6x-a. (1)对于任意实数x,f(x)m恒成立,求m的最大值; (2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围. 【解题示范】 解 (1)f(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2), 2分 因为x(-,+),f(x)m, 即3x2-9x+(6-m)0恒成立, 4分 所以=81-12(6-m)0,得m 即m的最大值为 6分,(2)因为当x1时,f(x)0; 当1x2时,f(x)0; 当x2时,f(x)0; 所以当x=1时,f(x)取极大值f(1)= -a; 9分 当x=2时,f(x)取极小值f(2)=2-a; 10分 故当f(2)0或f(1)0时,方程f(x)=0仅有一个实根. 解得a2或a 12分,1.若连续函数f(x)在区间(a,b)上满足f(a)f(b)0, 则函数f(x)在区间(a,b)上,至少有一个零点.但还应 注意当曲线与x轴相切时,函数存在零点但不满足该 点附近左右两点函数值的积小于零；切记. 2.在解决数学建模的有关问题时，一定要弄清题意， 分清条件和结论,理顺数量关系;将文字语言翻译成 数学语言,再变换成符号语言,进而根据题意列出相 应的等式求解,将用数学方法得到的结论还原为实际 问题，切记所求结论要符合客观实际.,3.常见重要的数学模型有：二次函数解决有关最值 问题；分式函数模型：y=x + (x0)给定区间上 结合单调性解决最值问题;应用y=N(H+p)x的模型 解决有关增长率及利息等问题. 4.在解决函数与方程的有关问题时，常常利用数形结 合思想进行解答.,一、选择题 1.设函数f(x)=loga(x+b) (a0,a1)的图象过点(2, 1),其反函数的图象过点(2,8),则a+b等于 （ ） A.6 B.5 C.4 D.3 解析 函数f(x)=loga(x+b) (a0,a1)的图象过点 (2,1),其反函数的图象过点(2,8),则原函数图象过 点(8,2). a=3或a=-2(舍),b=1.a+b=4.,C,2.客车从甲地以60 km/h的速度行驶1小时到达乙地， 在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度行驶1 小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发,经过乙地, 最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象 中,正确的是 （ ）,解析 由题意可知客车在整个过程中的路程函数s(t) 的表达式为: 对比各选项的曲线知应选B. 答案 B,3.(2008辽宁)设f(x)是连续的偶函数,且当x0时是 单调函数,则满足 的所有x之和为 ( ) A.-3 B.3 C.-8 D.8 解析 因为f(x)是连续的偶函数,且x0时是单调函 数,由偶函数的性质可知若 只有两种情 况: 由知x2+3x-3=0,故两根之和为x1+x2=-3. 由知x2+5x+3=0，故其两根之和为x3+x4=-5. 因此满足条件的所有x之和为-8.,C,4.若函数y=f(x) (xR)满足f(x+2)=f(x),且x-1,1 时,f(x)=|x|,则函数F(x)=f(x)-|log5|x|的零点的个 数是 （ ） A.5 B.6 C.10 D.12 解析 因f(x+2)=f(x),所以f(x)是以2为周期的函数, 且x-1,1时,f(x)=|x|,在同一坐标系下画出函数 f(x)及函数y=|log5|x|的图象，则两图象的交点个 数,即为函数F(x)=f(x)-|log5|x|的零点的个数.,C,5.(2008陕西)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x) +f(y)+2xy(x,yR),f(1)=2,则f(-3)等于 ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+201 =f(0)+f(1),f(0)=0. f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2(-1)1 =f(-1)+f(1)-2,f(-1)=0. f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2(-2)1 =f(-2)+f(1)-4,f(-2)=2. f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2(-3)1 =f(-3)+f(1)-6,f(-3)=6.,C,6.已知圆C:x2+y2=4 (x0，y0)与函数f(x)=log2x， g(x)=2x的图象分别交于A(x1,y1),B(x2,y2),则 等于 ( ) A.16 B.8 C.4 D.2 解析 由题意可知:其函数图象 如右图所示，因为函数f(x)， g(x)互为反函数所以其图象关 于直线l:x-y=0对称，因交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),所以x2=y1. 即,C,二、填空题 7.已知函数 且f(2)=f(0),f(3) = 9,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为_. 解析 由f(2)=f(0),得b=-4,再由f(3)=9,得c=3, 当x0时,f(x)=x,即2x2-5x+3=0, 解得x= 或x=1; 当x0时,3=x方程无解.,2,8.关于x方程|x2-4x+3|-a=x有3个不等的实数根，则实 数a的取值范围是_. 解析 因原方程可整理为|(x-2)2-1|=x+a，在同一坐 标系下画出函数f(x)=|(x-2)2-1|及y=x+a的图象，由 图象可知： 当a=-1时，原方程有3个不等的实数根； 消去y，令=0,得 综上可知:a=-1或,9.某地区预计2009年的前x个月内对某种商品的需求 总量f(x)(万件)与月份x的近似关系式是f(x)= x(x+1)(19-x) (xN*,1x12),若2009年的第 x月份的需求量g(x)(万件)最大,则x的值是_. 解析 由题意可知： g(x)=f(x)-f(x-1