D11512高斯,2斯托克斯公式(合).ppt

,第五节,一、高斯公式,二、通量与散度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高斯公式 斯托克斯公式,第十一章,三、斯托克斯公式,四、环流量与旋度,一、高斯( Gauss )公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,下面先证:,函数 P, Q, R 在,面 所围成,则有,(Gauss 公式),高斯 目录 上页 下页 返回 结束, 的方向取外侧,证明:,为XY型区域 ,则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,设,所以,若 不是 XY型区域 ,则可引进辅助面将其分割,成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .,负抵消,在辅助面正反两侧面积分正,类似可证,三式相加, 即得所证 Gauss 公式：,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解: 这里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,(用柱坐标),及平面 z = 0 , z = 3 所围空间,思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?,若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解: 作辅助面,取上侧;,介于 z = 0 及,z = h 0 之间部分的下侧.,所围区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用重心公式, 注意,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,设 为曲面,取上侧, 求,解:,作取下侧的辅助面,先二后一,轮换对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭区域 上具有一、,二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式,例4. 设函数,其中 是整个 边界面的外侧.,分析:,高斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:令,由高斯公式得,移项即得所证公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、通量与散度,引例.,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,理意义可知,设 为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面 的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 为方向向外的闭曲面,当 0 时,说明流入 的流体质量少于,当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为,当 = 0 时,说明流入与流出 的流体质量相等 .,流出的,表明 内有涌出;,表明, 内有吸入 ;,根据高斯公式, 流量也可表为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向向外的任一闭曲面 ,记 所围域为,设 是包含点 M 且,为了揭示场内任意点M 处的特性,在式两边同除以 的体积 V,并令 以,任意方式缩小至点 M,则有,此式反应了流速场在点M 的特点:,其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,设有向量场,其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向,则称,曲面,有向曲面 的通量(流量) .,在场中点 M(x, y, z) 处,divergence,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.,例如, 匀速场,故它是无源场.,P16 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且,例5.,置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为,解:,计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、 斯托克斯( Stokes ) 公式,定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数, 的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,则有,简介 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则变成格林,公式：,( 格林公式 ),或用第一类曲面积分表示:,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,(斯托克斯公式),行列式辅助记忆式,例6. 利用斯托克斯公式计算积分,其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个,解: 记三角形域为, 取上侧,则,边界, 方向如图所示.,利用对称轮换性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 为柱面,与平面 y = z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针, 计算,解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,公式 目录 上页 下页 返回 结束,四、 环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面 的单位法向量为,曲线 的单位切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令, 引进一个向量,rotation,定义:,沿有向闭曲线 的环流量.,或,于是得斯托克斯公式的向量形式 :,旋度 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则斯托克斯公式可写为,设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一,点,建立坐标系如图,则,点 M 的线速度为,(此即“旋度”一词的来源),旋度的力学意义:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意 与 的方向形成右手系!,斯托克斯公式的物理意义:,例8.,求电场强度,的旋度 .,解:,(除原点外),这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的外法向量,计算,解:,例9. 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,所围立体,判断下列演算是否正确?,(1),(2), 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,则,提示: