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文档简介

第四章 数值积分和数值微分,内容提要 4.1 引言 4.2 牛顿-柯特斯公式 4.3 复化求积公式 4.4 龙贝格求积公式 4.5 高斯求积公式 4.6 数值微分,4.1 引言 一、数值求积的基本思想 对定义在区间a,b上的定积分,但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分 复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计 算给出的一张数据表示时，上述方法也不能直接运用。因此 有必要研究积分的数值计算问题。,积分中值定理告诉我们：,平均高度,梯形公式,平均高度,中矩形公式,平均高度,更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式,求积节点,求积系数,这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。,二、代数精度的概念,利用代数精度的概念构造求积公式,三、插值型的求积公式,4.2 牛顿-柯特斯公式 一、牛顿-柯特斯公式的导出,柯特斯系数,牛顿-柯特斯公式的代数精度,4.3 复合求积公式 一、问题与基本思想 在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)，因而不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或辛普森公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。本节只讨论复化的梯形公式和复化的辛普森公式。,二、复合梯形公式,三、复合辛普森公式,4.4 龙贝格求积公式 一、梯形法的递推化 (变步长求积法),于是可以逐次对分形成一个序列T1,T2,T4,T8,此序列 收敛于积分真值 I。当 |T2n-Tn|时，取T2n为 I 的近似值。 以上算法称为变步长求积法。 但由于此序列收敛太慢 。下节我们将其改造成为收敛快的序列。,二、龙贝格算法 如何提高收敛速度以节省计算量是龙贝格算法要讨论的中 心问题。,这样我们从收敛较慢的Tn序列推出了收敛较快的Sn序列。 可以证明Sn序列实际上就是逐次分半的复化辛普森公式序列。,这样我们从Cn序列又推出了收敛更快的Rn序列. Rn序列也称为龙贝格序列。我们从收敛较慢的Tn序列 只用了一些四则运算，便推出了收敛更快的Sn序列, Cn 序列和Rn序列。,运算顺序表,这里利用二分3次的数据（它们的精度都很差，只有两三位 有效数字）通过三次加速求得R1=0.9460831,这个结果的每 一位数字都是有效数字，可见加速效果是十分显著的。,4.5 高斯求积公式 一、一般理论,4.6 数值微分 一、中点方法与误差分析 数值微分就是要用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。由导数定义差商近似导数得到数值微分公式。,二、插值型的求导公式,知 识 结 构 图 四,数值 积分 与数 值微 分,数值
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