数理方程第二章分离变量法.ppt

下午2时53分,1,第二章 分离变量法,一、有界弦的自由振动,二、有限长杆上的热传导,三、拉普拉斯方程的定解问题,四、非齐次方程的解法,五、非齐次边界条件的处理,六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,下午2时53分,2,基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。,适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等,特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。,一、有界弦的自由振动,下午2时53分,3,令,代入方程：,令,代入边界条件,1、 求两端固定的弦自由振动的规律,下午2时53分,4,特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定条件下求非零解的问题,特征（固有）值：使方程有非零解的常数值,特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解,分情况讨论：,1）,2）,3） 令 ， 为非零实数,下午2时53分,5,下午2时53分,6,下午2时53分,7,下午2时53分,8,分离变量,求特征值和特征函数,求另一个函数,求通解,确定常数,分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。,下午2时53分,9,2 解的性质,x=x0时：,其中：,驻波法,t=t0时：,下午2时53分,10,例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。,解：,下午2时53分,11,下午2时53分,12,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,下午2时53分,13,下午2时53分,14,解：,例2求下列定解问题,下午2时53分,15,下午2时53分,16,下午2时53分,17,初始条件,下午2时53分,18,例3 求下列定解问题,解：,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,下午2时53分,19,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特故原问题的解为,下午2时53分,20,例4 求下列定解问题,令,代入方程：,解：,下午2时53分,21,下午2时53分,22,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,下午2时53分,23,下午2时53分,24,下午2时53分,25,二 有限长杆上的热传导,令,带入方程：,解：,下午2时53分,26,由例4知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,满足方程,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,下午2时53分,27,令,代入方程：,令,例5 求下列定解问题,解：,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,下午2时53分,28,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,下午2时53分,29,例6 求下列定解问题,解：令,下午2时53分,30,下午2时53分,31,于是得到一系列分离变量形式的特解,下午2时53分,32,若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？,思考,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,若,下午2时53分,33,分离变量流程图,下午2时53分,34,三 拉普拉斯方程的定解问题,1 直角坐标系下的拉普拉斯问题,解：,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,下午2时53分,35,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,下午2时53分,36,下午2时53分,37,例7 求下列定解问题,解：,由例6中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,下午2时53分,38,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,下午2时53分,39,下午2时53分,40,例8 求下列定解问题,解：,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,下午2时53分,41,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,下午2时53分,42,2 圆域内的拉普拉斯问题,下午2时53分,43,例9 求下列定解问题,解：,（自然边界条件）,（周期性边界条件）,周期特征值问题,下午2时53分,44,(欧拉方程),令,周期特征值问题,故以上周期特征值问题的特征值和特征函数分别为,下午2时53分,45,（由自然边界条件）,（由自然边界条件）,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,下午2时53分,46,例10 求下列定解问题,解：,（周期性边界条件）,周期特征值问题,下午2时53分,47,欧拉方程,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,下午2时53分,48,其他为零,下午2时53分,49,例11 求下列定解问题,解：,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,（自然边界条件）,下午2时53分,50,（由自然边界条件）,下午2时53分,51,例11 求解下列二维热传导方程的定解问题,解：,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,下午2时53分,52,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,下午2时53分,53,例12 求下列热传导方程的定解问题,解法一：令,下午2时53分,54,解法二：令,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,下午2时53分,55,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,下午2时53分,56,常用特征值问题,周期特征值问题,下午2时53分,57,四 非齐次方程的解法,求下列定解问题,方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？,思考,下午2时53分,58,由线性方程的叠加原理，令：,下午2时53分,59,令：,为什么？,非齐次方程的特征函数展开法,下午2时53分,60,用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题,下午2时53分,61,例13 求下列定解问题,解：先解对应的齐次问题,其特征值和特征函数为,下午2时53分,62,下午2时53分,63,例14 求下列定解问题,解：令,其特征值和特征函数为,下午2时53分,64,下午2时53分,65,用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题,下午2时53分,66,例15 求定解问题,解：将原问题变换到极坐标系下：,周期特征值问题,下午2时53分,67,非齐次方程的特征函数展开法,下午2时53分,68,下午2时53分,69,例16 求定解问题,周期特征值问题,下午2时53分,70,非齐次方程的特征函数展开法,下午2时53分,71,下午2时53分,72,五 非齐次边界条件的处理,解：首先要想办法将非齐次条件齐次化。令,取,其中辅助函数满足,下午2时53分,73,下午2时53分,74,常见非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数,以上方法适用于波动方程、热传导方程和位势方程。,下午2时53分,75,例17 求下列定解问题,解：令,可以用非齐次方程的特征函数展开法求解以上问题。,下午2时53分,76,若f(x,t)和非齐次边界条件都与t无关，则此时W仅是x的函数W(x),此方法在使得非齐次边界条件齐次化的同时将导致方程的非齐次化。能否做到两者同时齐次化？,若能从中求出W(x,t)，就可以实现两者同时齐次化。但一般很难求出!,下午2时53分,77,例18 求下列定解问题,解：令,请与例17比较，研究其优缺点。,下午2时53分,78,例19 求定解问题,解：令,可以用分离变量法求解以上问题。,下午2时53分,79,例20 求定解问题,解：令,可以用分离变量法求解以上问题。,下午2时53分,80,例21 求定解问题,解：令,下午2时53分,81,定解问题,选择合适的坐标系,边界条件非齐次，转换为齐次边界条件,非齐次方程，齐次边界条件,齐次方程，齐次边界条件 直接用分离变量法,非齐次方程，齐次定解条件 特征函数展开法,应用