奇偶性第课时函数奇偶性的概念.ppt

2019/7/16,研修班,1,1.3.2 奇偶性(第1课时 函数奇偶性的概念),2019/7/16,研修班,2,2019/7/16,研修班,3,2019/7/16,研修班,4,1若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0)是什么？ 【提示】 由奇函数定义，f(x)f(x)，则f(0)f(0)，f(0)0. 2奇(偶)函数的定义域有什么特点？这种特点是怎样影响函数的奇偶性的？,2019/7/16,研修班,5,【提示】 (1)偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)(f(x)f(x)”，这表明f(x)与f(x)都有意义，即x、x同时属于定义域因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件 (2)若函数的定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数,2019/7/16,研修班,6,2019/7/16,研修班,7,2019/7/16,研修班,8,(3)函数f(x)的定义域为x|x3； 定义域不关于原点对称， 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： 定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性,2019/7/16,研修班,9,图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数 另外，还有如下性质可判定函数奇偶性： 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域),2019/7/16,研修班,10,2019/7/16,研修班,11,2019/7/16,研修班,12,(3)xR， f(x)|x2|x2| |x2|x2| (|x2|x2|)f(x)， f(x)是奇函数,2019/7/16,研修班,13,【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： 已知函数为分段函数； 判断此函数的奇偶性 解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明 【解析】 (1)当x0 f(x)(x)2(x)1， x2x1(x2x1)f(x) (2)当x0时，x0 f(x)(x)2(x)1 (x2x1)f(x) 综上f(x)f(x) f(x)是奇函数,2019/7/16,研修班,14,(1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x与x所满足的对应关系，如x0时，f(x)满足f(x)x2x1，x0满足的不再是f(x)x2x1，而是f(x)x2x1； (2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(x)f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的 (3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断,2019/7/16,研修班,15,【解析】 当x0时，x0 f(x)(x)2x2 f(x) 当x0时，f(x)0f(x) f(x)是偶函数,2019/7/16,研修班,16,已知函数f(x)不恒为0，当x、yR时，恒有f(xy)f(x)f(y) 求证：f(x)是奇函数 【思路点拨】 令xy0求f(0)令yx f(x)f(x)结论,【证明】 函数定义域为R，其定义域关于原点对称 f(xy)f(x)f(y)， 令yx， 则f(0)f(x)f(x)， 再令xy0， 则f(0)f(0)f(0)，得f(0)0， f(x)f(x)，f(x)为奇函数,2019/7/16,研修班,17,抽象函数奇偶性的判定通常用定义法，主要是充分运用所给条件，想法寻找f(x)与f(x)之间的关系，此类题目常用到f(0)，可通过给式子中变量赋值，构造出0，把f(0)求出来,3.本例中，若将条件“f(xy)f(x)f(y)”改为f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，其余不变，求证f(x)是偶函数,2019/7/16,研修班,18,【证明】 令x0，yx， 则f(x)f(x)2f(0)f(x) 又令xx，y0得 f(x)f(x)2f(x)f(0) 得f(x)f(x) f(x)是偶函数,2019/7/16,研修班,19,1准确理解函数奇偶性定义 (1)偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)(f(x)f(x)”，这表明f(x)与f(x)都有意义，即x、x同时属于定义域因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件 存在既是奇函数又是偶