工程电磁场数值分析(有限元法).ppt

工程电磁场数值分析 （有限元法）,华中科技大学电机与控制工程系 陈德智 2007.12,第4章 电磁场有限元法 （Finite Element Method, FEM）,有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权余量法导出，本章以加权余量法作为有限元法的基础，以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实施步骤。并介绍有限元法中的一些特殊问题。,第4章 电磁场有限元法（FEM）,有限元的基本原理与实施步骤 有限元方程组的求解 前处理与后处理技术 渐近边界条件 矢量有限元法 求解运动导体涡流问题的迎风有限元法,在有限元法中，基函数一般用 表示。采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同。使与余量正交化：,加权余量法回顾： 对算子方程 用 作为该方程的近似解（试探解）： 代入方程得余量：,1. 有限元法的基本原理与实施步骤,设L为线性算子，代入 ，得,或,记,得代数方程组：,加权余量法回顾（续）,场域离散 以二维静电场泊松方程的求解为例。二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。,单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是 单一、均匀的。 节点：网格的交点，待求变量的设置点。,需要记录信息： 节点编号、节点坐标 节点属性(激励源、是否边界等) 单元编号 单元节点编号 单元介质,目标：建立节点变量之间满足的代数方程组，即确定系数Kij 和bi。依据的原理是加权余量法使用的基函数为分域基。,基函数 有限元采用分片逼近的思想，跟使用折线逼近一条任意曲线的做法相同。使用分域基Ni，基函数的个数等于节点的个数；每个基函数Ni的作用区域是与该节点i相关联的所有单元。,在积分 中，对于确定的 i，j的有效取值为i本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为以i、j为公共节点的所有三角形单元 ，在这些单元中Ni、Nj才有交叠。,这些积分可以分单元进行。例如对右图所示的局部编码，K01、K00以及b0的计算公式为：,以下把单元e的贡献记为,这样，就有,每个 或 的计算都在具体的单元内单独考虑（称为单元分析）。,三角形单元内的基函数 设三角形三个顶点处待求函数值分别为u1, u2, u3。如果单元足够小，可以采用线性近似，将单元内任意p点的u(x,y)表示为,代入三个顶点的坐标和函数值，可以解出a、b、c。得到,单元节点的编号按逆时针方向排列！,其中，,记住我们的任务 寻找基函数,对比,可得,基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数，具有以下性质： （1）是插值的； （2） （3）在相邻单元的公共边界上， Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。,单元分析：计算单元内积分对系数阵和右端项元素的贡献。,系数阵元素：,当L为拉普拉斯算子时，由于Ni在单元内是(x, y)的线性函数，经Laplace算子作用后值为0。但是，在相邻单元的边界上， Ni是连续但是不光滑的，因此对积分的贡献主要来自边界。为考虑单元边界的影响，需要借助于格林公式：,故 ，,格林公式：,因：,写成一般形式，若一个三角形三个顶点编号为i, j, m（逆时针顺序），则,从而,再看边界部分：,（1）在节点 i 的对边Gjm上，Ni0，故积分贡献为0；,结论：单元边界对积分的贡献为0。所以单元e为系数阵元素的贡献为：,（2）在节点 i 的邻边Gij上，由于计算Kij时需要把具有公共邻边的单元的积分累加，此二单元的Ni是连续的；对于单一均匀媒质，要求相邻单元满足 ，故积分的贡献相互抵消。,由于单元很小，做单元分析时通常可以取 f (e) 为常数值（可以认为等于三个顶点上的平均值）。因此,右端项元素：,公式：,通过上述过程，对于一个“正常”的内部节点就建立起了一个代数方程。“非正常”的节点包括：媒质交界面衔接条件和场域边界条件，稍后再讨论。 上述以节点为序的分析过程对于有限元原理的说明是易于理解的。而在实际编程中，更有效率的是以单元为序，逐个计算单元系数阵K(e)，然后合成整体系数阵K。单元系数阵K(e)定义为 设i, j, k是节点的整体编号，元素Kij在整体矩阵中的实际位置是第i行、j列；因此 必须合成到整体矩阵的第i行、j列元素上。,对于静电场问题，媒质分界面衔接条件为,媒质交界面衔接条件,第一个条件是自动满足的（Why？），无须格外处理。,对于第二个条件，前面计算单元边界上积分 时，默认两边j 的法向导数相等，使内边界上的积分结果抵消。因此只要把泊松方程写成 或 满足的条件将是 , 从而也无需另行处理。,由于有限元方法能够自动满足媒质交界面条件，因此有限元法特别适合于处理多层复杂媒质问题。这是其它方法无可比拟的。,媒质交界面衔接条件,第一类边界条件（强加边界条件）,第一类边界节点是指边界上函数值 已知。因此处理方法是，合成整体系数阵之后，将该节点所在行的主元素置1，其它元素均置零，同时将右端项中对应元素设为已知函数值。,要保持对称性；有更简便的做法,第二类边界条件（自然边界条件）,第二类边界节点是指边界上函数法向导数 已知。对于内部单元，相邻单元边界的积分 相互抵消。但是对于场域边界，如果给定第二类边界条件不为0，则积分结果要计入右端项中。但是若给定的是齐次第二类边界条件，则积分结果为0，无需另行处理，非常方便。,有限元方法的推导过程虽然看起来有些复杂，但是最终结果是非常简单而且优美的。因为边界条件的处理和媒质交界面条件的处理都非常方便，使得有限元方法在处理复杂媒质问题和复杂场域问题时得心应手，获得了广泛的应用，称为最重要的数值分析手段。有人用“功盖四方”来形容有限元，实不为过。 中国人在有限元的发明中有自己独特的贡献。,作业：,（1）研究方向为数值计算的同学： 编写一个二维静电场有限元程序，计算右图所示问题，或其它自己找一个问题。,（2）研究方向非数值计算的同学： 简要叙述有限元的原理，试分析计算精度可能跟哪些因素有关；并归纳一下，有限元法与有限差分法有那些相同点和不同点？,稀疏矩阵技术 ICCG法,2. 有限元方程组的求解,建模 自动剖分技术 误差估计，h方法与p方