概率论 第三章第一节.ppt

1,第三章 多维随机变量及其分布, 1 多维随机变量的概念 2 随机变量的独立性 3 两个随机变量的函数的分布,2,从本讲起，我们开始第三章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,它是第二章内容的推广.,3,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r .v (两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (三个坐标)来确定的等等.,4,设,是定义在 上的随机变量,由它们构成的一个 维向,量.,以下重点讨论二维随机变量.,5,第一节 二维随机变量,二维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量,6,如果对于任意实数,二元 函数,称为二维随机变量 的分布函数,定义1,一、二维随机变量的分布函数,7,而 和 都是随机变量 ,也有各自的分,布函数,分别记为,变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.,依次称为二维随机,边缘分布函数,8,那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,分布函数的函数值的几何解释,9,随机点 落在矩形域,内的概率为,10,分布函数具有以下的基本性质：,（1）F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即 对于任意固定的 y , 当 x1 x2时，,对于任意固定的 y ,且,对于任意固定的 x , 当 y1 y2时，,对于任意固定的 x ,11,（3） F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),12,说 明:,上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数（证明略）,13,或随机变量X和Y 的联合分布律.,k=1,2, ,X 的分布律,k=1,2, ,定义2,的值是有限对或可列无穷多对,设二维离散型随机变量,可能取的值是,记,如果二维随机变量,全部可能取到的不相同,称之为二维离散型随机变量 的分布律,二、二维离散型随机变量,14,也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.,15,例1 把一枚均匀硬币抛掷3次，设X为3次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .,解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3),PX=0, Y=3,PX=1, Y=1,PX=2, Y=1,PX=3, Y=0,=3/8,=3/8,16,一般地，对离散型 r.v ( X,Y )，,则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为,X和Y 的联合分布律为,离散型随机变量的边缘分布律,17,(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为,18,例1（续）把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .,解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3),PX=0, Y=3,PX=1, Y=1,PX=2, Y=1,PX=3, Y=0,=3/8,=3/8,19,PX=0=,PX=1=,PX=2=,PX=3=,PY=1=,PY=3=,=1/8,PX=0, Y=1+PX=0, Y=3,=3/8,PX=1, Y=1+PX=1, Y=3,=3/8,PX=2, Y=1+PX=2, Y=3,PX=3, Y=1+PX=3, Y=3,=1/8.,=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.,20,我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.,21,联合分布与边缘分布的关系,由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,22,X的概率密度函数,定义3,函数 称为二维,三、二维连续型随机变量,23,二维连续型随机变量 的概率密度具有性质,24,（X,Y）的概率密度的性质 :,在 f (x,y)的连续点 ,25,例2 设(X,Y)的概率密度是,(1) 求分布函数,(2) 求概率 .,26,解 (1),当 时,故,当 时,27,(2),28,例3.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为,1)求常数A，B，C。 2)求P0X2,0Y3,解:,29,对连续型 r.v ( X,Y ) ，,X 和Y 的联合概率密度为,则 ( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度为,连续型随机变量的边缘概率密度,( X,Y )关于Y 的边缘概率密度为,30,例4 设(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。,= 5c/24 ,c =24/5.,解 (1),故,31,例4 设 (X,Y) 的概率密度是,解,求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度 .,(2),当 时,当 时,暂时固定,32,注意取值范围,综上 ,当 时,33,例4 设(X,Y)的概率密度是,解 (2),求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .,暂时固定,34,综上 ,注意取值范围,35,在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分. 当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .,下面我们介绍两个常见的二维分布.,36,设D是平面上的有界区域，其面积为S且S0. 若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度,则称（X,Y）在D上服从均匀分布.,记作:,37,例5: 已知二维随机变量（X,Y）服从区域D上的 均匀分布，其中D: . 求 .,解 （X,Y）的密度函数为,事件 意味着随机点（X,Y）落在区域,上，则,38,若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,则称（ X,Y）服从参数为 的二维正态分布.,记作（ X,Y） N( ).,39,例 6 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.,解,因为,所以,40,则有,41,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 ,并且不依赖于参数 .,同理,可见,由边缘分布一般不能确定联合分布.,也就是说,对于给定的 不同的 对应,不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.,此例表明,42,五、小结,在这一节中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的分布函数 ,离散型随机变量的分布律以及连续型随机变量的概率密度函数.