概率第六讲2.1-2.3.ppt

第六讲 随机变量及其分布,二、随机变量的概念,三、离散型随机变量的概率分布,四、常见离散型随机变量的概率分布,一、随机变量的引入,回顾样本空间,随机试验的所有可能的结果i构成的集合被称作 样本空间, 而每一个可能的试验结果i构成样本点. 样本点的集合A称作事件, 只包含一个样本点的集合 i被称作基本事件.,样本空间是一个非常抽象的集合，从理论上讲它可以是任何集合. 但这对于研究带来了许多不方便.,一、随机变量的引入,1. 为什么引入随机变量?,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律,性的，,为了更方便有力的研究随机现象，,就要用数,学分析的方法来研究，,就需将任意的随机事件数量,化.,当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示,时，,就建立起了随机变量的概念,例1,在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.,=红色、白色,非数量,将 数量化,可采用下列方法,红色,白色,2. 随机变量的引入,即有 X (红色)=1 ,X (白色)=0.,这样便将非数量的 =红色，白色 数量化了.,例2,抛掷骰子,观察出现的点数.,=1，2，3，4，5，6,样本点本身就是数量,且有,二、随机变量的概念,定义,称,示意图.,说明,(1)随机变量与普通的函数不同,随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着,本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随,机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不,一定是实数).,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此,随机变量的取值也有一定的概率规律.,(3)随机变量与随机事件的关系,随机事件包容在随机变量这个范围更广的概,念之内.,或者说:随机事件是从静态的观点来研究随,机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机,现象.,例3,设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,该射手不断向目标射击,直到击中目标为止,则,是一个随机变量.,且X(w)的所有可能取值为:,现,例4,某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过，,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则,是一个随机变量.,且X(w)的所有可能取值,为:,而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等.,随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母,等表示,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,事件及 事件概率,随机变量及其 取值规律,随机变量的分类,离散型,(1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个, 叫做离散型随机变量.,观察掷一个骰子出现的点数.,随机变量 X 的可能值是 :,随机变量,连续型,如,1, 2, 3, 4, 5, 6.,又如 随机变量X为“测量某零件尺寸时的测量 误差”.,则X的取值范围为 (a, b),如 随机变量X为“灯泡的寿命”.,(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.,则X的取值范围为,这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.,学习时请注意它们各自的特点和描述方法.,所有取值可以逐个 一一列举,所有可能取值不仅不能 一一列举，而且充满 一个区间.,三、离散型随机变量的分布律,的概率,为,由概率的定义,说明：,反过来，如果(xn,pn) 满足(1)、(2)那么一定 可以构造一个r.v,表示方法,（1）列表法：,（2）图示法,（3）公式法,(1) (2) (3),例2. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解： X的可能取值是0、1、2,P (X =0)=,P(X =1)=,P(X =2)=,且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1,(0.1)*(0.1)=0.01,2(0.9)*(0.1) =0.18,(0.9)*(0.9)=0.81,所以，X的概率分布为：,四、常用离散型随机变量,（一） 两点分布（ 01分布）,随机变量 X只可能取0和1两个值，,其概率函数为：,或,如： 1.投掷一枚硬币; 2.登记婴儿性别; 3.检查产品质量是否合格; 4.打靶是否击中目标.,（二）超几何分布,随机变量 X的所有可能值为0, 1, 2, , n，,其概率函数为：,则称X服从参数为n, M, N 超几何分布，记作,X H( n, M, N),实际背景：设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,则取出的n件产品中的次品数X服从超几何分布.,（三）二项分布,随机变量 X的所有可能值为0, 1, 2, , n，,其概率函数为：,则称X服从参数为n, p的二项分布，记作,X B (n, p),用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X服从二项分布.,当n=1时， P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 X约化为0-1分布,例3某类灯泡使用时间在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.,解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 .,则 X B (3, 0.8),把观察一个灯泡的使用 时间看作一次试验, “使用到1000小时已坏” 视为“事件A”.每次试验, A发生的概率为0.8,P(X 1) =P(X=0)+P(X=1),=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,所求为,二项分布的图形,对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至达到最大值, 随后单调减少.,当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p达到最大值；,( x 表示不超过 x 的最大整数),n=10, p=0.7,n,Pk,对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至达到最大值, 随后单调减少.,当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大值.,超几何分布与二项分布的联系,(四) 泊松分布,而,取各个值的概率为,泊松分布的图形,泊松分布的背景及应用,二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察,与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们,做了2608次观察(每次时间为7.5秒), 发现放射性物,质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊,松分布.,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,地震,火山爆发,特大洪水,泊松分布,泊松定理,数,有,证,有,故有,必定很小,因此,上式,也能用来作二项分布概率的近似计算.,例4 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？,解:,设该商品每月的销售数为X,则 Xp(5),设商店在月底应进某种商品m件,进货数,销售数,求满足,P(Xm)0.95,的最小的m.,计算得(P374页),P(Xm) 0.05,也即,于是得 m+1=10,或,m=9件,Xp(5),例5 设有同类型仪器300台，它们的工作是相互独立的，且发生故障的概率均为0.