概率论课件--2-5随机变量的相互独立性22p.ppt

,第二章,第五节,随机变量的相互独立性 (22),一、随机变量的相互独立性,二、两个随机变量的函数的分布,一、随机变量的相互独立性,定义1,有,即有,定理1,独立的充分必要条件是对任意实数 x ,y 有,设( X ,Y )是二维随机变量,若对任意实数 x ,y ,则称随机变量 X 与Y 相互独立.,(1),设( X ,Y )是二维连续型随机变量,则 X 与Y相互,(2),证:,先证充分性:,若,则有,故 X 与 Y 相互独立.,再证必要性:,即,则有,若X 与Y 相互独立，,由联合概率密度函数的定义知,是( X , Y )的联合概率密度函数,证毕.,解:,首先求 X 与 Y 的边缘概率密度函数，,当 x 1时,则,当 0 x 1 时，,例1.,设( X ,Y )的联合概率密度函数为,问 X 与Y 是否相互独立？,当y 2时,又,则,当0 y 2时,由于,因此 X 与Y 不独立.,则有,则有,对于二维离散型随机变量,定理2,立的充分必要条件是,都有,即有,有下述定理:,设( X ,Y )是二维离散型随机变量,则 X 与Y 相互独,(3),( X ,Y )的任意一对可能取值,证明从略.,例2.,取出2件产品,试判断 X 与Y 的独立性.,袋中有5件产品,其中2件是次品,现从袋中逐次,设采用有放回抽取,规定:,解:,利用公式,可得 ( X ,Y ) 的联合分布律如下:,0 1,由于,所以 X 与Y 相互独立.,注:,变量是否相互独立,变量是否相互独立.,两个随机变量相互独立的概念可直接推广到 n 个随机,变量.,n维随机变量,定义为,若对于任意实数,则称随机变量,在实际应用中,通常不是用定义或定理来判断随机,而是根据实际问题本身来判断随机,的联合分布函数,都有,是相互独立的.,(如例2作有放回抽取),对于n 维连续型随机变量及 n 维离散型随机变量,也有类似于定理1与定理2的结论.,定理3,则随机变量的函数,也是相互独立的.,设,是相互独立的随机变量,二、二维随机变量函数的分布,第三节已讨论了一个随机变量的函数的概率分布问题,即已知 X 的概率分布,求 X 的函数 Y = g (X)的分布.,下面我们把上述讨论推广到二维随机变量上去,例3.,-1 0 1,求 X+Y 和 XY 的分布律.,即讨论,二维随机变量函数的概率分布.,下面通过例子,讨论几个,具体的二维随机变量函数的概率分布.,设( X ,Y )的联合分布律如下,解:,由( X ,Y )的联合分布律容易求得,概率,概率,从而得 X +Y 和 XY 的分布律分别为:,例4.,为 f (x ,y) ,解:,设 Z 的分布函数为,则,其中,设二维连续型随机变量( X , Y )的联合概率密度,求Z = X + Y 的概率密度函数,令 t = x + y ,则 y = t x ,得,两边对 z 求导得,由X 与Y 在Z 中的对称性,得,(4),(5),当X 与Y 相互独立时,设其概率密度函数分别为,则有:,此时,(6),(7),例5.,求 Z = X + Y 的概率密度函数.,解:,当 时,已知 X 与Y 相互独立,概率密度函数分别为,(6)式和(7)式这两个积分即是函数,与,的卷积.,则,当 时，,下面求,在 时均为0，,因此 ；,当 时,在 时非0,则,当 时，,在 时非0,则,因此,例6.,与,的分布,解:,由于,不大于Z等价于X和Y都不大于Z,故有,立,的分布函数为:,又由于X 和Y 相互独,设 X 与Y 相互独立,且分布函数分别为,