概率论与数理统计3.1.ppt

第三章 随机向量,3.1 随机向量的分布 3.2 条件分布和随机变量的独立性 3.3 随机向量的函数的分布与数学期望 3.4 随机向量的数字特征 3.5 大数定律与中心极限定理,3.1 随 机 向 量的分布,一、随机向量及其分布函数 二、离散型随机向量的概率分布 三、连续型随机向量的概率密度函数 四、二元正态分布,设 E 是一个随机试验，它的样本空间是=，设 X1=X1(),X2=X2(), ,Xn=Xn() 是定义在概率空间(,F,P)上的n个随机变量，则称由它们构成的一个向量(X1,X2,Xn)为(,F,P)上的n维随机向量。,一、随机向量及其分布函数,注 意 事 项,n维随机向量的分布函数,n维随机向量的联合分布函数,分布函数的几何意义,一个重要的公式,分布函数具有以下的基本性质,F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即 对于任意固定的 y , 当 x1 x2时，,对于任意固定的y ,2),1),且,对于任意固定的 x , 当 y1 y2时，,对于任意固定的x,3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.,4),分布函数具有以下的基本性质(续),说 明,上述四条性质是二维随机向量分布函数的最基本的 性质，即任何二维随机向量的分布函数都具有这四 条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数 具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机向 量的分布函数（证明略）,边缘分布函数,二、离散型随机向量,显然，(X，Y)为二维离散型随机向量X，Y均为离散型随机变量,二维离散型随机向量联合概率分布的性质,边缘概率分布,二维离散型随机向量的联合概率分布和边缘分布,例3.1,二维离散型随机向量的联合分布函数,例3.2,对于二维随机向量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如果 存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：,则称 ( X, Y ) 是连续型的二维随机向量，函数 f (x , y )称为二维随机向量 ( X, Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。,三、连续型随机向量的概率密度,按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：,30 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X, Y )落在 G 内 的概率为：,在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面，上式 即表示 P(X,Y)G的值等于以 G 为底，以曲面 z = f (x , y)为顶的柱体体积.,概率密度函数的性质,由这个性质，在f(x, y)的连续点处有,概率密度函数的性质(续1),这表明， 若f(x, y)在点(x, y)处连续，则当 很小时,即(X, Y)落在小长方形 内的概率近似地,边缘密度函数,边缘密度函数(续),例3.3,设随机向量(X1，Y1)的密度函数f(x1, y1)， (X2，Y2)的密度函数g(x2, y2)分别为,(1) 求参数 k1的值及(X1，Y1)的边缘密度函数；,(2) 求参数 k2的值及(X2，Y2)的密度函数。,二维均匀分布,二维均匀分布几何意义,四、二元正态分布,二元正态分布的边