概率论与数理统计3.13.2.ppt

第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,引言,某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.,H：表示该地区学龄前儿童的身高,W：表示该地区学龄前儿童的体重,则H(e)，W(e) 是定义在 S 上的两个随机变量,1、考察某地区学龄前儿童的身体发育情况：,样本空间 S = e = 某地区的学龄前儿童,Z：表示该钢厂钢材的含硫量,则X(e) ，Y(e) ，Z(e)是定义在 S 上的三个随机变量,X：表示该钢厂钢材的硬度,Y：表示该钢厂钢材的含碳量,2、考察某钢厂钢材的质量：,样本空间 S = e = 某钢厂生产的钢材,对于多维随机变量，不仅需要讨论各个分量的性质，还要把(X, Y) 作为一个整体来进行研究.,二维随机变量的概念,定义：设X，Y是定义在同一 个样本空间上的两个随机变 量，由它们构成的向量(X, Y) 叫做二维随机变量.,e,X(e),Y(e),S,例：在生猪收购站或屠宰场工作的人们，有时希望由生猪的身长估计它的体重.,联合分布 二维随机变量(X, Y)（把 X，Y 看作一个整体）所 具有的概率分布.,边缘分布 各分量 X，Y 作为一维随机变量所具有的概率分 布.,条件分布 一个分量取值固定的条件下，另一个分量所具有 的概率分布.,联合分布函数,三种不同类型的概率分布,随机变量 X 的分布函数,0,x2,X,x1,回顾：一维随机变量的分布函数,性质1： 单调不减，即若 ，则必有 .,性质2： ，且 ， .,性质3： 在每一点 处均为右连续，即有,联合分布函数的概念,定义：二元函数 称为二维随机变量(X, Y)的分 布函数， 或称为随机变量 X 和 Y 的联 合分布函数.,几何意义： 随机点 (X,Y) 落在以点(x, y) 为右上角顶点的无穷矩形内 的概率,联合分布函数的性质,对任意固定的 y ，当x1 x2 时， ,对任意固定的 x ，当y1 y2 时， ,性质1：,F(x, y)是变量 x 和 y 的单调不减函数，即,性质2：,且有,性质3：,F(x, y)关于 x 右连续，关于 y 也右连续，即,性质4：,对任意的x1 x2，y1 y2，有,性质3：,F(x, y)关于 x 右连续，关于 y 也右连续，即,性质4：,对任意的x1 x2，y1 y2，有,如果二维随机变量(X, Y)的所有可能取值是有限对或 可列无限对,则称(X, Y)是离散型的二维随机变量.,若 X 及Y 的全部不同的可能取值分别为,则(X, Y)的全部可能取值为:,2、二维离散型随机变量的联合分布,二维离散型随机变量的联合分布,称概率函数,为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律.,或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布律.,称概率函数,为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律.,或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布律.,(1),(2),联合分布律的性质,联合分布函数,对满足 及 的 一切下标 i 和 j 进行求和,的再取一球，假设每次取球时袋中各球被取到的可能性相同，以 和 表示第一次和第二次取出的球上标有的数字，求 的联合分布。,解 可能取值为,由乘法原理，得：,类似可得：,例 一口袋中装有四个球，上面依次标有数字1，2，2，3。从袋中任取一球后不放回,从而所求的分布列为：,二维连续型随机变量的联合分布,1、二维连续型随机变量的定义,对于二维随机变量(X, Y)的联合分布函数F(x, y)，如果存在非负函数 f (x, y)，使对于任意的 x 和 y，有 则称(X, Y)是连续型的二维随机变量. 函数 f (x, y)称为二维随机变量的概率密度，或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度.,在空间直角坐标系中，z = f (x, y) 表示一曲面，此曲面称为分布曲面.,2、联合概率密度的性质,(1),(2),附注：具有性质(1)、(2)的二元函数f (x, y) 必是某个二维连续型随机变量的密度函数,注意到,，以及,可得,分布曲面与xOy 面所 夹部分的体积为1.,由 ，两边同时对x 和y 求偏导数 (假定偏导数存在)，得,(3) 设R为xOy 平面内任一区域R，则有,(4) 在 f (x, y) 的连续点处，有,几何意义：以R为底，以分布曲面为顶的曲顶柱体的体积.,试求(1) 常数 的值；,例 二维随机变量 的联合密度为,（3） 的联合分布函数。,解 （1）由联合概率密度的性质：,从而,（2）,（3）由联合分布的定义，,当 或 时， 从而,当 且 时， 从而,从而所求的联合分布函数为：,n 维随机变量的概念,定义：设X，Y是定义在同一 个样本空间上的两个随机变 量，由它们构成的向量(X, Y) 叫做二维随机变量.,e,X(e),Y(e),S,定义：设X1, X2, , Xn是定义在同一个样本空间上的 n 个随 机变量，由它们构成的 n 维向量(X1, X2, , Xn) 叫做 n 维随 机变量.,n 维随机变量的分布函数,2 边缘分布,联合分布 二维随机变量(X, Y)（把 X，Y 看作一个整体）所 具有的概率分布.,边缘分布 各分量 X，Y 作为一维随机变量所具有的概率分 布.,三种不同类型的概率分布,联合分布函数,一、边缘分布的定义,设 X，Y 是定义在同一个样本空间上的两个随机变量，由它们构成的向量(X, Y)叫做二维随机变量 如果把 X，Y 看作一个整体，具有联合分布函数 F(x, y) X和Y 作为随机变量，也有分布函数，分别记作FX(x) 和 FY(y) ，依次称为二维随机变量(X, Y) 关于 X 和关于 Y 的 边缘分布函数 边缘分布也称为边沿分布或边际分布 边缘分布函数可由联合分布函数确定,二、边缘分布函数,假设已知二维随机变量的联合分布函数 F(x, y) ，那么 同理可得,三、离散型随机变量的边缘分布律,一般地，已知离散型随机变量(X, Y)的联合分布律 则(X, Y)关于X的边缘分布律 同理(X, Y)关于Y的边缘分布律 此时，边缘分布函数为,（同行概率求和）,（同列概率求和）,X,Y,我们常将边缘分布写在联合分布律表格的边缘上，这就是 “边缘分布律”这个名词的来源,例 设 的联合分布列为,求关于 及 的边缘分布列。,解 由边缘分布列的定义，,同理可计算出 的边缘分布。,从而关于 及 的边缘分布列为：,也可表示为：,四、连续型随机变量的边缘概率密度,一般地，已知连续型随机变量(X, Y)的联合概率密度为 则 根据边缘分布函数的定义 同理可得,根据分布函数与密度函数的关系，有,例 设二维随机变量 的联合密度为,解 由定义,所以,求 关于 和 的边缘概率密度。,同理,例：设二维随机变量 (X, Y) 的概率密度为 其中 m1, m2, s12, s22, r 都是常数，且 s1 0， s2 0， 0| r |1， 则称 (X, Y) 服从参数为m1, m2, s12, s22, r 的二维正态分布，记作 (X, Y) N( m1, m2, s12, s22, r ) ,X N(m1, s12),Y N(m2, s22),附注：,若(X, Y) N(m1, m2, s12,