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,边缘分布与独立性,3.2,边缘分布,设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=P(Xx,Yy),则随机变量X的分布函数,称为(X,Y)关于X的边缘分布函数。,称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数。,边缘分布,FX(x),FY(y),二维离散型随机变量的边缘分布,设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为,则(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数分别为,(X,Y)关于X、Y的边缘分布律分别为,1,例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个， 抽取两次，定义随机变量X、Y如下,对下面两种抽取方式：(1) 有放回抽取；(2)无放回抽取，求(X,Y)的边缘分布律。,(1) 有放回抽取,(2) 无放回抽取,1,1,二维连续型随机变量的边缘分布,设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函数和联合概率密度分别为F(x,y)和 f(x,y),则,分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数，简称边缘概率密度。,例2. 设(X,Y)的分布密度是,求:(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度。,解:,例3. 设(X,Y)在区域G=(x,y)|0yx 1上服从 均匀分布，求(X,Y)关于X,Y的边缘概率 密度。,解:SG=1/2,如果二维随机变量(X,Y)满足,则称X与Y相互独立 .,连续型,随机变量的独立性,对任意x,y, 有,离散型,例4. 设(X,Y)的联合分布函数为,判断X与Y是否独立。,因此， X与Y是独立。,解:,例5.袋中有5个大小形状相同的球，其中4个白 球，1个红球。现甲、乙两人轮流随机取 球(不放回)，直到某人取出红球为止，设 甲先取球。令X、Y分别为结束取球时 甲、乙取球的次数。求(X,Y)的联合分布 列，并判断X、Y的独立性。,因此， X与Y不独立。,解:,例6.已知X、Y独立,完成下面表格。,X,Y,1 2 p.j,1 2 3 pi.,1/8,1/8,1/6,1,1/24,1/4,3/4,1/12,1/3,1/4,3/8,1/2,例7. 设二维随机变量(X,Y)的分布密度为：,求(X,Y)关于X,Y的边缘分布密度,并讨论X与Y的独立性。,(X,Y) N(1 , 2, 12, 22, ),X N(1 , 12),Y N(2 , 22),若(X,Y) N(1 , 2, 12, 22, ),X与Y相互独立,=0,例8. 设(X,Y) 服从以原点为圆心，R为半径的 圆形区域上
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