概率论与数理统计第2.1,2.2节.ppt

第2章 随机变量及其分布,2.1 随机变量及其分布函数,2.4 连续型随机变量及其密度函数,2.3 几种常见的离散型分布,2.2 离散型随机变量及其分布律,2.6 随机变量函数及其分布,2.5 正态分布,2.1 随机变量及其分布函数,一、随机变量,二、随机变量的分布函数,2.1.1 随机变量及其分布 一 随机变量的概念 我们常常把随机实验的各个结果随机事件 ，用变量来刻画。其实有许多随机实验的结果本身就表现为数量，如（1）抽查100件产品的次品数；（2）某电话交换台单位时间内接到呼唤的次数;(3)射击弹着点与目标的距离。,看来用变量的方式表示随机实验的结果方便简单,设 是试验E的样本空间, 若,则称 X ( ) 为 上的 随机变量,r.v.一般用大写字母 X, Y , Z , 或小写希腊字母 , , 表示.,定义2.1.1,简记 r.v. X .,此映射具有如下特点,为事件A 的示性变量, = 儿童的发育情况 ,X() 身高,Y() 体重,Z() 头围.,各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没有关系 即 相互独立,实例2 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,X() 的所有可能取值为:,实例1 设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,X() 的所有可能取值为:,随机变量的实例,实例3 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的,X() 的所有可 能取值为:,用随机变量表示事件,如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 “出现偶数点”可表示为：X=2 X=4 X=6 “出现的点数小于”可表示为：X 4或X3,E中的事件通常都可以用X的不同取值来表示.,离散型随机变量,随机变量X取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 以确定的概率取这些不同的值 例子,连续型随机变量,可以取一个或多个区间中任何值 所有可能取值不可能逐个列出来 例子,返回,2.1.2 随机变量的分布函数,设X为一随机变量,则对任意实数x，称,为随机变量X的分布函数,F(x)是一个普通的函数！,Distribution Function,分布函数的定义,X的分布函数为,出现的点数小于x的概率,1,2,3,4,5,6,例1,掷一枚骰子,设X表示出现的点数,其可能取值为,没有可能的点数,包含出现1点,包含出现1,2点,包含出现1,2,3点,包含出现1,2,3,4点,包含出现1,2,3,4,5点,包含出现1,2,3,4,5,6点,分布函数是累计概率,用分布函数表示概率,设 r.v. X 的分布函数：,计算,例2,解,分布函数的基本性质：,F(x)是一个增函数. 0 F(x) 1且,3. F(x+0)= F(x),即F(x)是右连续的.,证明性质 1，2，3 分别要利用概率的： 1. 非负性，2. 规范性，3. 可列可加性. 故分布函数的三个基本性质正好对应于 概率的三个基本性质。,证明：,分布函数F(x)表示事件Xx( 即X的取值落在区间(,x上 )的概率 。 对于任意实数 x1, x2 (x1 x2)，有 p x1X x2 = p X x2 p X x1 = F(x2) F(x1) 。 已知X的分布函数，就能知道X落在任一区间(x1, x2上概率，分布函数完整描述了随机变量的统计规律性。 通过分布函数，我们能更进一步利用高等数学方法研究随机变量。,分布函数 F(x)的图形,F(x)是单调不减函数,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件.,问一问,是不是某一随机变量的分布函数？,不是,因为,例3,判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?,(1),解,(1),由题设,右连续,并有,例3,判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?,(2),不可能是分布函数.,所以,解,练习 向区间 0，a 任意投掷一个点，以 X 表示 落点的坐标，假定点落在 0，a 里的任意小区间 中的概率与小区间长度成正比。 (1) 计算 X 的分布函数， (2) 计算 P X a/2 ， (3) 计算P a/4 X a/3 ，(4) 计算 P X a/5 。,解. 首先需要找出 X 的取值范围， 0 X a 。 因此 X 的分布函数必然有如下形式：,0 ， x 0 ， F (x) = ？，0 x a ， 1 ， x a 。,不妨取一个小区间为 0，x ， 其中 0 x a ； 因此 P 0 X x = k x ，这里 k 是某个待定常数。 取 x = a ，所以推导出 k = 1/a ，得出分布函数：,0 ， x 0 ， F (x) = x/a ，0 x a ， 1 ， x b 。,根据分布函数的性质， P X a/2 = F (a/2 ) = 1/2 ； P a/4 X a/3 = F (a/3 ) F (a/4 ) = 1/12 ； P X a/5 = 1 F (a/5 ) = 4/5 。,2.2 离散型随机变量及其分布律,一、离散型随机变量的分布律,二、离散型随机变量的分布函数,2.2.1 离散随机变量的概率分布,称此式为X的分布律（列）或概率分布（Probability distribution),设离散型随机变量 的所有可能取值是 ，而取值 的概率为,即,(1) pk 0, k1, 2, ; (2),分布律的性质,例1 设X的分布律为,求 P(0X2),P(0X2)=P（X=1）+P（X=2） =1/2+1/6=2/3,分布律确定概率,解,=P(抽得的两件全为次品),求分布律举例,例2 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。,解：X的可能取值为 0，1，2,=P(抽得的两件全为正品),PX=1,PX=2,=P(只有一件为次品),PX=0,故 X的分布律为,而“至少抽得一件次品”=X1,= X=1X=2,PX1= PX=1+PX=2,注意：X=1与X=2是互不相容的！,实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了,故,例3 从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。,解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3, 则 Ai , i=1,2,3, 是相互独立的！ 且,X的所有可能取值为 1，2，3， ,k,P(X=k)=,(1-p)k-1p ,k=1,2,( X=k )对应着事件,设随机变量X的分布律为,试确定常数b.,解,由分布律的性质,有,例4,例5,袋中有1个白球和4个黑球，每次不放回地从中任取一个球，直至取得白球为止，求取球次数的概率分布.,解,设X为取到白球时的取球次数,X的可能取值为,1, 2, 3, 4, 5,不难求得,因此,所求的概率分布为,即，,2.2.2、离散型随机变量的分布函数,如图，,是一个阶,它在,有跳跃，,反之，,梯函数，,跳跃度恰为随机变量,注 意 点 (1),对离散随机变量的分布函数应注意：,(1) F(x)是递增的阶梯函数;,(2) 其间断点均为右连续的;,(3) 其间断点即为X的可能取值点;,(4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.,例7,已知 X 的分布律如下：,X 0 1 2,P 1/4 1/2 1/4,求 X 的分布函数.,解：,X 0 1 2,P 0.4 0.4 0.2,解：,例8,已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布律.,例9 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X的分布律. (信号灯的工作是相互独立的).,PX=3=(1-p)3p,可爱的家园,解 以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X的分布律为：,pk,p,或写成 PX= k = (1- p)kp，k =