拉格朗日方程在机翼颤振中的应用.ppt

拉格朗日方程在机翼颤振中的应用,1,拉格朗日方程，因约瑟夫路易斯拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程。 拉格朗日方程在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。 拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。,什么是颤振？ 颤振（flutter）：弹性结构在均匀气（或液）流中受到空气（或液体）动力、弹性力和惯性力的耦合作用而发生的大幅度振动。颤振是一种自激振动。 飞机机翼弯曲-扭转颤振示意图：,颤振的危害,1903年兰利设计了单翼飞机，试飞时，因机翼扭转发散致使飞机坠落失事。 1917年DH-9飞机出现尾翼颤振。（双翼飞机机身和尾翼扭转刚度不够）。 德D-8型飞机（单翼）扭转刚度按双翼飞机的准则估算，高速俯冲时依然多次坠地。（美工程师发现机翼-副翼组合弯曲颤振）。 美早期喷气歼击机水平尾翼发生颤振而折断。 1947-1957美国飞机共发生100多起不同形式的颤振。 从1988年末起，我国某系列飞机相继出现严重的方向舵蒙皮裂纹问题，经分析后认为是典型的壁板颤振问题。 1992年AIAA的动力学专家会议上，有一篇报道指出，F-117A战斗机在试飞后，有约一半的层合板蒙皮出现了裂纹，据信这是由于壁板颤振造成的。,颤振机理,颤振是一种自激振动，可以用弹簧-阻尼器的自由振动系统说明。 该系统运动方程为 当 时，系统受到微小扰动以后，运动的振幅随时间而逐渐减小，与速度反向的阻尼力做负功，系统能量转化为阻尼器热量。 当 时，系统受到微小扰动以后，运动的振幅随时间而增大，此时阻尼力做正功，致使系统能量增加。由于微小的扰动，因系统本身的特性，而导致振动扩大的现象称为自激振动。 而当 时，系统受到微小扰动以后，运动为等幅振动。,机翼的弯曲-扭转颤振,下面我们分析一下前面提到的机翼的弯曲-扭转颤振。,飞机在飞行过程中，机翼常常受到外力干扰，如阵风的影响。假若机翼在外力作用下，产生了向下的弹性变形，机翼结构内部的弹性力则会使机翼回到初始位置。,下面对前面机翼弯曲-扭转颤振示意图进行分析： 1.机翼出现向上的加速运动。在机翼上产生惯性力，该力作用在翼剖面的重心，其方向与加速度的方向相反。如果重心在剖面的刚心之后，惯性力对刚心构成一个抬头力矩 。 2.该力矩使翼剖面相对于弹性轴产生顺时针方向的扭矩，从而获得一个附加的正攻角。于是，在机翼上产生相应的附加气动力，它作用在翼剖面的气动力中心，促使机翼的扭转变形加大 。 3.由于弹性力的作用，机翼很快回到了它的初始位置 。 4.当机翼由下向上加速运动时，积累了足够大的能量，促使机翼在越过初始位置而继续向上运动，使其产生向上的弯曲变形。同时，向上的附加气动力使得这种弯曲变形加大。在越过初始位置之后，弹性力和惯性力的方向改变，此时惯性力对刚心构成了低头力矩，使得机翼按逆时针方向扭转，剖面的攻角逐渐减小，附加的气动力随之减小。 5.机翼继续向上弯曲变形 。 6.攻角继续减小，以致低头力矩使剖面具有一个附加的负攻角。由该负攻角产生的附加气动力继续使翼剖面低头，促使机翼的扭转变形加大。 7.由于弹性力的作用机翼又将回到初始位置。 8.因能量的积累，促使机翼向下弯曲变形 。 9.向下的附加气动力使这种变形加大，越过初始位置以后，弹性力和惯性力的方向改变了。,由上面的分析可以看出，如果激振力作的功大于阻尼力作的功，则振动的振幅不断扩大，直至发生颤振，造成结构破坏。反之，若果激振力作的功小于阻尼力作的功，则振动的振幅不断衰减，最后振动消失。当两者作的功相等时，保持为振幅不变的简谐运动。此时的飞行速度成为颤振临界速度 ，此时的振动频率成为颤振频率 。,现在用二元机翼模型对上面提到的机翼弯曲-扭转颤振进行求解分析。 格罗曼提出了在准定常气动力假设上建立颤振分析方法。在他的理论中，略去了非定常气动力中的一些因素，最后得出的近似颤振速度偏于保守。但这种计算方法的工作量相对较少，且结果简明，易于对颤振速度的各种影响因素进行分析。而且根据多年来的风洞试验，证明了该理论在工程应用中是可行的。 二元机翼模型示意图：,弦长为2b，宽度为一个单位长度 。 两个自由度分别为：弯曲 h，绕弹性轴的转动 。 翼段分别由一个线弹性和一个盘旋弹性支持在弹性轴点，弹簧常数分别为 和 。 点在翼弦中点后 处。重心到弹性轴的距离以 表示，量纲为1。,于是机翼上任一点位移 式中 从弹性轴量起的距离。 二元翼段的动能表示为 式中 单位展长的机翼质量，； 单位展长机翼对弹性轴的质量静矩， 单位展长机翼对转轴的质量惯矩， 为对弹性轴的回转半径，量纲为1。 二元翼段的势能表示为,将动能、势能的表达式代入拉格朗日方程得 式中 与 相应的广义力，即由翼段振动引起的气动力； 与 相应的广义力，即由翼段振动引起的气动力矩。 引用准定常气动力的结果，可知 以及得到对刚心 的力矩,又知，在颤振临界状况下，机翼做简谐运动，即 将这三组方程代入运动方程，整理后得到颤振运动方程,引入符号,化简得 此方程有非零解的条件是系数行列式等于零，即 这个行列式即为颤振行列式。 展开上式，分成实、虚两部，得,式中,求解得,式中,其中，速