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,2,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,3,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),4,2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐方程通解形式,与齐方程通解相比:,5,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,设通解形式,6,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,7,解,例1,8,例2. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求解. 令,则,代入非齐次方程得,解得:,故原方程通解为,9,例3. 解方程,10,求微分方程 的通解.,11,例5. 求方程,的通解 .,解: 注意,用,这是以 为因变量 , y 为自变量的一阶线性方程,由一阶线性方程通解公式 , 得,乘方程两边 , 得,即所求通解为,12,例6 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,13,所求曲线为,14,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,二、伯努利方程,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,15,求出通解后，将 代入即得,代入上式,16,例1. 求方程,的通解 .,解: 令,则方程变形为,其通解为,将 代入 , 得原方程通解:,17,解,例 2,18,例3 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,19,解,分离变量法得,所求通解为,20,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,21,思考与练习,判别下列方程类型,提示:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,22,三、小结,1.齐次方程,2.线性非齐次方程,3.伯努利方程,23,P281 1(1)(3) (6) (7) (10) ; 2 (2)(4)(5) ,3,4, 6 , 7 (2)(3) (5
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