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3.3空间曲线曲率挠率和Frenet公式,定义： 空间曲线 在 点的曲率为 其中 为 点及其邻近点 间的弧长， 为 曲线在点 和 的切向量的夹角。 曲率刻画了曲线的弯曲程度，刻画了曲线偏离切线 程度。,空间曲线曲率计算公式（自然参数）,一般参数下空间曲线曲率计算公式,例： 空间曲线：r = r(s)为直线的充要条件是曲率k(s)=0. 证明 若为直线 r = s a + b，其中a和b都是常向 量，并且| a | = 1，则k(s)= ; 反之, 若k(s)=0, 则 于是 r = s a + b. 所以该曲线是直线.,对于空间曲线，曲线不仅弯曲（曲线偏离切线程度由曲 率表示）而且还要扭转（偏离密切平面，否则为平面曲 线），所以类似相应有刻画曲线扭转程度的量挠率。 （有大小又有方向）我们用副法向量的转动速度来刻画 曲线的扭转程度。 现在设曲线 上一点 的自然参数为 ,另一邻近点 的自然参数为 ，在 两点作曲线 的副法向 量 和 ,此两个副法向量的夹角是 由第一节命题知扭转程度大小为 几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转 速度,由于密切平面把空间分成上下两部分，对扭转程度要考虑付法向量向上还是向下即有方向，即有下面的定义,下面考虑扭转方向,因 所以,定义：曲线 在 点的挠率为 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于 弧长的旋转速度。,空间曲线的伏雷内公式,由定义,则有基本向量导向量与基本向量的关系，即微分几何的的重要公式,这组公式是空间曲线论的基本公式。它的特点是基 本向量 关于弧长 的微商可以用 的线性组合来表示。系数组成反称的方阵,挠率的计算公式,曲率和挠率的一般参数表示式,已给出 类曲线 一般参数曲率的表示式 一般参数表示的挠率计算公式（与曲率求法类似）,注：曲率和挠率是几何不变量，即在参数变换下不变（易证）,命题 曲线为平面曲线充要条件是 . 证明 设的方程为r = r(s). 在某平面 ( 为上的一个定点对应的向量, n为平面的单位法 向量). 对上式两边求导, 得 . 从而 . 若k = 0, 则 . 于是 反过来,所以曲线为平面曲线,若,命题： 空间曲线 为平面曲线的 充要条件是,证 由上例曲线为平面曲线充要条件是,等价于,而,所以,所以命题成立。,空间曲线 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲 线 上一点 的主法线的正侧取线段 使 的长为 。 以 为圆心，以 为半径在密切 平面上确定一个圆，这个圆称为曲线 在 点的密切 圆（曲率圆），曲率圆的中心称 为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径。,曲率中心轨迹设对应Y，则有,容易证明C在P点与曲率圆相切，且在P点的曲率相同,例1 求圆柱螺线r=a cos t, a sin t, bt(a0, b0均为常数)的曲率、挠率、曲率中心和曲率圆. 解 =-a sin t, a cos t, b， =-a cos t, -a sin t, 0， =a sin t, -a c
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