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专题七 数学思想方法,第一讲 函数与方程思想,函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问 题方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件 转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方 程(组)或不等式(组)来使问题获解有时，还通过函数与方程的互相转化、 接轨，达到解决问题的目的函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有 着密切的联系，方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐 标,函数是高中数学的重要内容之一，其理论和应用涉及各个方面，是贯穿整个高中数学的一条主线这里所说的函数思想具体表现为：运用函数的有关性质，解决函数的某些问题；以运动和变化的观点分析和研究具体问题中的数学关系，通过函数的形式把这种关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决；对于一些从形式上看是非函数的问题，经过适当的数学变换或构造，使这一非函数的问题转化为函数的形式，并运用函数的有关概念和性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到顺利地解决尤其是一些方程和不等式方面的问题，可通过构造函数很好的处理 方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决尤其是对于一些从形式上看是非方程的问题，经过一定的数学变换或构造，使这一非方程的问题转化为方程的形式，并运用方程的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到解决 函数与方程的思想在解题中的应用十分广泛，主要有以下几方面：,拓展提升开阔思路 提炼方法 一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和 参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，或者在含有参数的函数 中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数自变量，更具有灵活性， 从而巧妙地解决有关问题求解本题的关键是变换角度，以参数m作为 自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题,拓展提升开阔思路 提炼方法 (1)求字母(或式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母 (式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得 (2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问 题中的重要问题解决这类问题一般有两种途径，其一，充分挖掘题设 条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分 应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应 用函数知识求值域 (3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信 息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决 (4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个 数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就 可用研究函数的方法将问题解决,拓展提升开阔思路 提炼方法 解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的
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