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,柏拉圖多面體,Platonic Solids,多邊形,- 每一個平面由多邊形所組成的立體,多面體 Polyhedron,-每一個平面由相同的正規多邊形所組成的立體,正規多面體 Regular Polyhedron,(柏拉圖多面體 Platonic Solid),究竟世上有多少個 正規多面體？,5,四面體 Tetrahedron,六面體 Hexahedron / Cube,八面體 Octahedron,十二面體 Dodecahedron,二十面體 Icosahedron,總結,為什麼只有五個柏拉圖 多面體？,其實世上有很多多面體,為什麼？,Why?,Why?,Why?,Why?,証明 Proof：,多面體由多邊形所組成 每一正規多邊形的內角可由公式 (n-2)180n 算出 e.g. 三角形內角為60 e.g. 四方形內角為90 e.g. 五邊形內角為108 e.g. 六角形內角為120 ,試想多面體的一角(vertex),有兩個條件： (1) 最少由三個多邊形所併合而成 (2) 這些多邊形聚於一角的內角總 和不能等同或超過360,根據第一個條件，柏拉圖多面體的一角最少由三個正規三角形組成 (共3 60=180),跟就是四個三角形組成的一角 (共 4 60 = 240),跟就是五個三角形組成的一角 (共 5 60 = 300),至於由六個三角形組成的一角 (共 5 60 = 360) 已是一平面，無法做成立體。,跟就是三個四方形組成的一角 (共 3 90 = 270),至於由四個四方形組成的一角 (共 4 90 = 360) 已是一平面，無法做成立體。,跟就是三個五邊形組成的一角 (共 3 108 = 324),至於由四個五邊形組成的一角 (共 4 108 = 432) 已超出一平面的角度，無法做成凸出的立體。,至於由三個六角形組成的一角 (共 3 120 = 360) 已是一平面，無法做成立體。,總結,柏拉圖多面體 與 柏拉圖哲學,柏拉圖被稱為西方哲學之父,柏拉圖多面體是由柏拉圖所發現，所以以他命名。,柏拉圖更將柏拉圖多面體與 宇宙萬物扯上關係,四面體 六面體 火 地 八面體 二十面體 空氣 水,至於十二面體，因由五邊形所做成，所以柏拉圖把它比喻為,十二面體 宇宙,有很多創作亦由柏拉圖多面體所啟發而成，以下是 M. C. Escher 的作品。,作品：四個正規多面體,作品：星星,By M.C. Escher,七彩的柏拉圖多面體 (Decorated Platonic Solids) By Dick Termes,應用,製作骰子 一般骰子皆以正立方體(六面體)來製造
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