(好资料)2012北京一模数学分类汇编_概率与统计

概率与统计概率1. （朝阳文题5）一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行 若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（ ）A B C D【解析】 C；容易知道，当蜜蜂在边长为10，各棱平行于玻璃容器的棱的正方体内飞行时是安全的于是安全飞行的概率为2. （朝阳理题5）在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为（ ）A B C D 【解析】 B；若使函数有零点，必须，即在坐标轴上将的取值范围标出，有如图所示当满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分于是概率为3. （东城理题6）（东城文题6）某人向一个半径为的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于的概率为（ ）A B C D【解析】 B；满足几何概型，概率为面积比4. （西城文题10）在边长为的正方形内任取一点，则点到点的距离小于的概率为 【解析】 ；当点在阴影内部时，满足到点的距离小于，概率满足几何概型，故所求的概率为面积比5. （西城文题15）一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是、现从盒子中随机抽取卡片若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于的概率；若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字的概率【解析】 设表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是，其中数字之和大于的是，所以设表示事件“至少一次抽到”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：，共个基本结果事件包含的基本结果有，共个基本结果所以所求事件的概率为6. （海淀理题16）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置 若指针停在区域返券元；停在区域返券元；停在区域不返券 例如：消费元，可转动转盘次，所获得的返券金额是两次金额之和若某位顾客消费元，求返券金额不低于元的概率；若某位顾客恰好消费元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）求随机变量的分布列和数学期望【解析】 设指针落在、区域分别记为事件、则， 若返券金额不低于元，则指针落在或区域 即消费元的顾客，返券金额不低于元的概率是 由题意得，该顾客可转动转盘次随机变量的可能值为，；所以，随机变量的分布列为： 0306090120其数学期望7. （海淀文题16）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费每满元可以转动如图所示的圆盘一次，其中为圆心，且标有元、元、元的三部分区域面积相等 假定指针停在任一位置都是等可能的当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券（例如：某顾客消费了元，第一次转动获得了元，第二次获得了元，则其共获得了元优惠券）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动若顾客甲消费了元，求他获得优惠券面额大于元的概率？若顾客乙消费了元，求他总共获得优惠券金额不低于元的概率？【解析】 设“甲获得优惠券”为事件因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分的面积相等，所以指针停在元，元，元区域内的概率都是顾客甲获得优惠券，是指指针停在元或元区域，根据互斥事件的概率，有，所以，顾客甲获得优惠券面额大于元的概率是设“乙获得优惠券金额不低于元”为事件因为顾客乙转动了转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为元，第二次获得优惠券金额为元，则基本事件空间可以表示为：，即中含有个基本事件，每个基本事件发生的概率为而乙获得优惠券金额不低于元，是指，所以事件中包含的基本事件有个，所以乙获得优惠券额不低于元的概率为答：甲获得优惠券面额大于元的概率为，乙获得优惠券金额不低于元的概率为8. （石景山理题16）如图，两个圆形转盘，每个转盘阴影部分各占转盘面积的和某“幸运转盘积分活动”规定，当指针指到转盘阴影部分时，分别赢得积分分和分先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此时活动结束；若第一次未赢得积分，则终止活动记先转转盘最终所得积分为随机变量，则的取值分别是多少？如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由【解析】 的取值分别是：0分，1000分，3000分由已知得，转动盘得到积分的概率为，转动盘得到积分的概率为设先转盘所得的积分为分，先转盘所得的积分为分则有，同理：，故先转盘时，赢得积分平均水平较高9. （石景山文题16）为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有家企业参与竞标其中企业来自辽宁省，、两家企业来自福建省，、三家企业来自河南省此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同企业中标的概率是多少？在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？ 【解析】 从这家企业中选出家的选法有，共有种其中企业中标的选法有，共种，则企业中标的概率为 解法一：在中标的企业中，至少有一家来自河南省选法有，共种 则“在中标的企业中，至少有一家来自河南省”的概率为解法二：在中标的企业中，没有来自河南省选法有：，共种“在中标的企业中，没有来自河南省”概率为“在中标的企业中，至少有一家来自河南省”的概率为10. （西城理题16）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；求该选手至多进入第三轮考核的概率；该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为，求随机变量的分布列和期望【解析】 设事件表示“该选手能正确回答第轮问题”，由已知，设事件表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则设事件表示“该选手至多进入第三轮考核”，则；的可能取值为1，2，3，4，所以，的分布列为123411. （东城文题16）在一次数学统考后，某班随机抽取名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下计算样本的平均成绩及方差；在这个样本中，现从不低于分的成绩中随机抽取个，求分的成绩被抽中的概率【解析】 样本的平均成绩样本方差为，设表示随机事件“分的成绩被抽中”，从不低于分的成绩中随机抽取个的样本总数是：，共种而事件含有个基本事件：，所以所求概率为12. （崇文理题16）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，频率分布直方图如图所示已知生产的产品数量在之间的工人有6位求；工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人不在同一组的概率是多少？【解析】 根据直方图可知产品件数在内的人数为，则（位） 根据直方图可知产品件数在，组内的人数分别为2，4，6， 5，3设选取这5人不在同组为B事件，则答：选取这5人不在同组的概率为13. （崇文文题11）从张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是或或的概率为_【解析】 ；或或的牌一共12张于是抽到这三张牌的概率为14. （崇文文题16）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，频率分布直方图如图所示已知生产的产品数量在之间的工人有6位求；工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？【解析】 根据直方图可知产品件数在内的人数为，则（位）根据直方图可知产品件数在 ，组内的人数分别为2，4 设这2位工人不在同一组为A事件，则答：选取这2人不在同组的概率为 15. （朝阳文题16）袋子中装有编号为的2个黑球和编号为的3个红球，从中任意摸出2个球写出所有不同的结果；求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；求至少摸出1个黑球的概率【解析】 3分记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件，则事件对应的基本事件为，共6个基本事件，所以8分答：恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为记“至少摸出1个黑球”为事件，则事件包含的基本事件为，共7个基本事件，所以答：至少摸出1个黑球的概率为13分16. （朝阳理题16）在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是两人投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；若投篮命中一次得1分，否则得0分，用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望【解析】 记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件由题意，得答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是由题意的可能有取值为0，1，2，3，则，所以的分布列为0123的数学期望17. （丰台文题17）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题求全班人数及分数在之间的频数；估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率【解析】 由茎叶图知，分数在之间的频数为，频率为，全班人数为 所以分数在之间的频数为 分数在之间的总分为；分数在之间的总分为；分数在之间的总分数为；分数在之间的总分约为；分数在之间的总分数为；所以，该班的平均分数为 估计平均分时，以下解法也给分：分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；所以，该班的平均分约为频率分布直方图中间的矩形的高为 将之间的个分数编号为，之间的个分数编号为，在之间的试卷中任取两份的基本事件为：，共个， 其中，至少有一个在之间的基本事件有个，故至少有一份分数在之间的概率是18. （丰台理题17）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件个，是否加工出精品均互不影响已知师父加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工个零件都是精品的概率为求徒弟加工个零件都是精品的概率；求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；设师徒二人加工出的个零件中精品个数为，求的分布列与均值【解析】 设徒弟加工个零件是精品的概率为，则，得，所以徒弟加工个零件都是精品的概率是 设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为，由知，师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下：12徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下：012P所以的分布列为01234P的期望为19. （宣武理题17）某公司要将一批海鲜用汽车运往城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入万元，每提前一天送到，或多获得万元，每迟到一天送到，将少获得万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路或公路中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示统计信息汽车行驶路线不堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路123公路214记汽车走公路1时公司获得的毛利润为（万元），求的分布列和数学期望；假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？（注：毛利润销售收入运费）【解析】 汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润万元堵车时公司获得的毛利润万元汽车走公路1时获得的毛利润的分布列为万元 设汽车走公路2时获得的毛利润为万元不堵车时获得的毛利润万元堵车时的毛利润万元汽车走公路2时获得的毛利润的分布列为万元选择公路2可能获利更多20. （宣武文题17）某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息同意不同意合计教师1女生4男生2请完成此统计表；试估计高三年级学生“同意”的人数；从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率【解析】 由分层抽样可知，男生、女生和教师被抽取的人数分别为，被调查人答卷情况统计表：同意不同意合计教师112女生246男生325（人）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为统计1. （崇文理题2）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人 为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为 （ ）A 5 B 10 C15 D50【解析】 C；容易知道样本中不超过45岁的人与超过45岁的人数之比为于是抽取不超过45岁的职工人数为人2. （朝阳理题2）下图是2010年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中为数字09中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则一定有 （ ）A B C D的大小与的值有关【解析】 B；容易知道，甲选手的有效得分为84，85，85，85，81于是；乙选手的有效得分为84，84，84，86，87于是3. （西城理题4）（西城文题5）甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A B C D【解析】 B；，4. （朝阳文题5）下图是某年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中为数字09中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则一定有（ ）A B C D的大小与的值有关【解析】 B；容易知道，甲选手的有效得分为84，85，85，85，81于是；乙选手的有效得分为84，84，84，86，87于是5. （宣武理题7）某单位员工按年龄分为三级，其人数之比为，现用分层