(好资料)2012北京一模数学分类汇编_空间向量与立体几何

空间向量与立体几何一、选择题和填空题1（海淀理科题5）（海淀文科题6）一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）A B C D 【解析】 A；设该三棱柱底面边长为，高为，则左视图面积为由三视图可得：，解得于是为所求2（丰台理科题10）（丰台文科题9）若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：），则该几何体的体积是 【解析】 ；3（石景山理题4）（石景山文题4）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：）为（ ）A B C D【解析】 A；几何体如图，是正四棱锥，底边长，侧面底边上的高为，因此侧面积为4（西城理题8）如图，平面平面，=直线，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线，分别是线段的中点下列判断正确的是（ ）A当时，两点不可能重合B两点可能重合，但此时直线与不可能相交C当与相交，直线平行于时，直线可以与相交D当是异面直线时，直线可能与平行【解析】 B；若两点重合，由知，从而平面，故有，故B正确5（西城文题8）如图，平面平面，=直线，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线，分别是线段的中点下列判断正确的是（ ）A当时，两点不可能重合B当时，线段在平面上正投影的长度不可能相等C两点可能重合，但此时直线与不可能相交D当与相交，直线平行于时，直线可以与相交【解析】 C；若两点重合，由知，从而平面，故有，故C正确6（东城理题9）下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 【解析】 ；由俯视图得此三棱锥的底面三角形面积为，又高为，故体积为7（东城文题3）已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是（ ）A B C D【解析】 C；由三视图知该几何体为一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，它的表面积为8（宣武理题10）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 【解析】 6；几何体如图所示，正面为的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为和，因此不难算出体积为9（宣武文题11）若将下面的展开图恢复成正方体，则的度数为 【解析】 ；恢复的图形如图，是正三角形，10（崇文理题5）（崇文文题6）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A若则 B若则C若，则 D若则【解析】 B；A中可以是任意关系；B正确；C中平行于同一平面，其位置关系可以为任意D中平行于同一直线的平面可以相交或者平行11（崇文文题3）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：），该几何体的表面积和体积为（ ）A B C D以上都不正确【解析】 A；易知几何体为母线长为5cm，底面直径为6cm的圆锥于是表面积为；体积为12（朝阳理题4）一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为长方形；正方形；圆； 椭圆其中正确的是（ ） ABCD【解析】 B；易知其俯视图可能为边长为3，2的矩形；亦可能为半长轴为3，半短轴为2的椭圆13（朝阳理题8）一个空间四边形的四条边及对角线的长均为，二面角的余弦值为，则下列论断正确的是 （ ）A空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为B空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为C空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为D不存在这样的球使得空间四边形的四个顶点在此球面上【解析】 A；易知四面体为边长为的正四面体容易计算有其外接球的半径为于是外接球的表面积为14（朝阳文题8）如图，设平面，垂足分别为，且，如果增加一个条件就能推出，给出四个条件：；与在内的正投影在同一条直线上；与在平面内的正投影所在直线交于一点 那么这个条件不可能是（ ）A B C D【解析】 D；在的条件下，均有若能证明面由面，则可证明中又由，知面中由，知面由面在内的正投影为直线，知面又面，知面15（朝阳文题12）如下图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 【解析】 易知该几何体是底面直径为1，高为1的圆柱于是其全面积为二、解答题16（海淀理科题17）如图，三棱柱中，侧面底面，且，为中点证明：平面；求直线与平面所成角的正弦值；在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置【解析】 证明：因为，且为的中点，所以又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系由题意可知，又所以得：，则有：， 设平面的一个法向量为，则有，令，得，所以因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以设，即，得所以，得令平面，得，即，得，即存在这样的点，为的中点17（海淀文科题17）如图：在四棱锥中，底面是菱形，平面，点、分别为、的中点，且证明：平面；求三棱锥的体积；在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长；若不存在，说明理由【解析】 因为为菱形，所以又，所以，又为中点，所以而平面，平面，所以又，所以平面因为又底面，所以所以，三棱锥的体积存在取中点，连结，因为，分别为、中点，所以且又在菱形中，所以，即是平行四边形所以，又平面，平面所以平面，即在上存在一点，使得平面，此时18（丰台理科题16）如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点求证：；确定点在线段上的位置，使/平面，并说明理由当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值【解析】 面，四边形是正方形，其对角线，交于点，平面，平面， 当为中点，即时，平面，理由如下：连结，由为中点，为中点，知，而平面，平面，故平面作于，连结，面，四边形是正方形，又，且，是二面角的平面角， 即，面，就是与底面所成的角连结，则，与底面所成角的正切值是另解：以为原点，、所在的直线分别为、轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形的边长为，则，要使平面，只需，而，由可得，解得，故当时，平面设平面的一个法向量为，则，而，取，得，同理可得平面的一个法向量设所成的角为，则，即， 面，就是与底面所成的角，19（丰台文科题16）如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点求证：；确定点在线段上的位置，使/平面，并说明理由【解析】 面，四边形是正方形，其对角线、交于点，平面，平面， 当为中点，即时，/平面，理由如下：连结，由为中点，为中点，知，而平面，平面，故/平面20（石景山理题17）如图，已知直三棱柱，是棱上动点，是中点 ，求证：平面；当是棱中点时，求证：平面；在棱上是否存在点，使得二面角的大小是，若存在，求的长，若不存在，请说明理由【解析】 证明：三棱柱是直棱柱，平面又平面， ，是中点，平面 证明：取的中点，联结，、分别是棱、中点，又，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，平面的法向量，则，且，于是所以取，则 三棱柱是直棱柱，平面又平面， ，平面是平面的法向量，二面角的大小是，则解得在棱上存在点，使得二面角的大小是，此时21（石景山文题17）如图，已知直三棱柱，、分别是棱、中点求证：；求四棱锥的体积；判断直线和平面的位置关系，并加以证明【解析】 三棱柱是直棱柱，平面又平面， 解：三棱柱是直棱柱，平面又平面， ，平面是棱的中点，解：平面证明如下：取的中点，联结，、分别是棱、中点，又，四边形是平行四边形， 又平面，平面， 平面22（西城理题17）在四棱锥中，侧面底面，为中点，底面是直角梯形，=90，求证：平面；求证：平面；设为侧棱上一点，试确定的值，使得二面角为45【解析】 取的中点，连结，因为为中点，所以，且在梯形中，所以，四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面平面底面，所以平面，所以如图，以为原点建立空间直角坐标系则，所以又由平面，可得，所以平面平面的法向量为，所以，设平面的法向量为，由，得，所以，所以，注意到，得23（西城文题17）如图，在三棱锥中，平面，为侧棱上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示证明：平面；求三棱锥的体积；在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长【解析】 因为平面，所以，又，所以平面，所以由三视图可得，在中，为中点，所以，所以平面，由三视图可得，由知，平面，又三棱锥的体积即为三棱锥的体积，所以，所求三棱锥的体积取的中点，连接并延长至，使得，点即为所求因为为中点，所以，因为平面，平面，所以平面，连接，四边形的对角线互相平分，所以为平行四边形，所以，又平面，所以在直角中，24（东城理题17）如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，作，分别交，于点，作，分别交，于点，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱求证：平面；求四棱锥的体积；求平面与平面所成锐二面角的余弦值【解析】 在正方形中，因为，所以三棱柱的底面三角形的边因为，所以，所以因为四边形为正方形，所以，而，所以平面因为平面，所以为四棱锥的高因为四边形为直角梯形，且，所以梯形的面积为所以四棱锥的体积由、可知，两两互相垂直以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为则，即令，则所以显然平面的一个法向量为设平面与平面所成锐二面角为，则所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为25（东城文题17）三棱柱中，平面，是边长为的等边三角形，为边中点，且求证：平面平面；求证：平面；求三棱锥的体积【解析】 因为平面，又平面，所以平面平面证明：连结交于，连结，则是的中点，是的中位线所以因为平面，所以平面；因为平面，所以平面，所以为三棱锥的高所以三棱锥的体积为26（宣武理题16）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点，为中点求证：；求二面角的余弦值；若四棱锥的体积为，求的长【解析】 平面，平面平面又是中点，平面建立直角坐标系，设则由知，平面，是平面的法向量设平面的法向量为，则且，二面角的余弦值为连结，设，是直角三角形，27（宣武文题16）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，分别为棱的中点求证：；求证：平面【解析】 平面，平面平面又是中点，平面证明：取中点，连结，为中点，平面，平面， 平面；同理，平面，平面平面平面 28（崇文理题17）三棱柱中，侧棱与底面垂直， 分别是，的中点求证：平面； 求证：平面；求二面角的余弦值【解析】 连结，在中，是，的中点，又平面，平面 -4分如图，以为原点建立空间直角坐标系则，设平面的法向量为令，则， 平面 -9分设平面的法向量为,令，则所求二面角的余弦值为29（崇文文题17）三棱柱中，侧棱与底面垂直， 分别是，的中点求证：平面； 求证：平面；求三棱锥的体积【解析】 连结，是，的中点又平面，平面三棱柱中，侧棱与底面垂直，四边形是正方形连结，又中的中点，与相交于点，平面由知是三棱锥的高在直角中，又30（朝阳理题17）如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点求证：平面；求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值【解析】 设和的交点为，连接，连接， 因为为的中点，为的中点，所以，且 又是中点，则 且，所以且所以四边形为平行四边形，所以又平面，平面，则平面5分因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，所以平面因为平面，所以由已知得，所以所以平面由可知，所以平面所以因为侧面是正方形，所以又平面，平面所以平面 取中点，连接在三棱柱中，因为平面所以侧面底面因为底面是正三角形，且是中点，所以，所以侧面所以是在平面上的射影，所以是与平面所成角 14分解法二：如图所示，建立空间直角坐标系设边长为2，可求得， 易知，所以，所以又，则平面5分易得，所以所以又因为平面所以平面